5自治医科大学 2010年 数学 第5問解答・解説

定義域は $x>0,\ x\ne1$ である。$y=\log_2x$ とおくと $y\ne0$、また $\log_x2=1/y$ である。したがって、最初の二つの方程式はそれぞれ $$y^2+ay+c=0,\qquad y^2+by+d=0$$ と同値になる。

最初の方程式の二つの解 $\displaystyle x=\frac14,8$ は、$y=-2,3$ に対応する。解と係数の関係から $a=-1,c=-6$ である。二つ目の方程式の解 $\displaystyle x=\frac12,4$ は $y=-1,2$ に対応するので、同様に $b=-1,d=-2$ となる。

求める方程式では $b=-1,c=-6$ を用いるから $$y^2-y-6=0,\qquad (y-3)(y+2)=0.$$ よって $y=3,-2$、すなわち $\displaystyle x=8,\frac14$ である。どちらも定義域に属し、大きいほうは $8$ である。