22自治医科大学 2010年 数学 第22問解答・解説

底面の半径を $r$、高さを $h$ とする。表面積の条件から $$\displaystyle 2\pi r^2+2\pi rh=150\pi,\qquad h=\frac{75-r^2}{r}.$$ したがって $r>0$、$h>0$ より $0<r<\sqrt{75}$ であり、体積は $$V=\pi r^2h=\pi(75r-r^3).$$ 微分すると $V'=\pi(75-3r^2)$。これは $0<r<5$ で正、$5<r<\sqrt{75}$ で負となる。よって体積は $r=5$ まで増加し、その後減少するので最大値をとる半径は $5$。