7弘前大学 2011年 数学 第7問解答・解説

この別稿は、初回のblind稿を変更せずに保持したうえで、原図の折る角と三角形の位置を再確認して作成した。原図では、破線で示された左下の角を、上側の長辺上へ折り返している。図の三角形 $A$ は左上の白い三角形であり、三角形 $B$ は折り返された角を含む灰色の三角形である。したがって、$A$ と $B$ を合同とすることはできない。

長方形の左下を $O=(0,0)$、右向きを $X$ 軸、上向きを $Y$ 軸とし、折り返された点を上辺上の $T=(x,a)$ とする。折り目は線分 $OT$ の垂直二等分線であり、左辺との交点を $S=(0,y)$、下辺との交点を $P=(p,0)$ とおく。垂直二等分線上の点は $O,T$ から等距離なので $$\displaystyle y=\frac{a^2+x^2}{2a},\qquad p=\frac{a^2+x^2}{2x}.$$

$u=x/a$ とおく。図のように折り目が左辺および下辺と交わる条件は $y\leq a$ と $p\leq 9a$ である。これらはそれぞれ $$0<u\leq 1,\qquad u^2-18u+1\leq0$$ を与える。したがって図示された折り方の範囲は $$9-4\sqrt5\leq u\leq1.$$ 両端では折り目が辺の端点に達する。以下の極値を与える値はこの範囲の内点なので、端点を退化した折り方として除く場合にも極値は変わらない。

三角形 $A$ の頂点は左上の角 $(0,a)$、$S$、$T$ である。したがって $$\displaystyle [A]=\frac{x(a-y)}2 =\frac{a^2}{4}u(1-u^2).$$ ここで $g(u)=u(1-u^2)/4$ とおくと $$\displaystyle g'(u)=\frac{1-3u^2}{4}.$$ よって $g$ は $u=1/\sqrt3$ まで増加し、その後減少する。また $$\displaystyle 9-4\sqrt5<\frac1{\sqrt3}<1$$ であるから、この点で最大となる。ゆえに $$\displaystyle \boxed{[A]_{\max}=\frac{a^2}{6\sqrt3}}.$$

三角形 $B$ は、折り返し前の三角形 $OSP$ が折り目で反転したものなので、面積は $[OSP]=yp/2$ に等しい。したがって $$\displaystyle [B]=\frac{yp}{2} =\frac{(a^2+x^2)^2}{8ax} =a^2 h(u),\qquad h(u)=\frac{(1+u^2)^2}{8u}.$$ 微分すると $$\displaystyle h'(u)=\frac{(3u^2-1)(u^2+1)}{8u^2}.$$ $u>0$ では $u^2+1$ と $8u^2$ は正であるため、$h$ は $u<1/\sqrt3$ で減少し、$u>1/\sqrt3$ で増加する。したがって同じ内点で最小となり、 $$\displaystyle \boxed{[B]_{\min}=a^2\frac{(1+1/3)^2}{8/\sqrt3} =\frac{2\sqrt3}{9}a^2}.$$

検算として、係数はそれぞれ $1/(6\sqrt3)\approx0.0962$、$2\sqrt3/9\approx0.3849$ であり、$B$ の最小値は許容域端 $u=1$ での $a^2/2$ より小さい。面積はいずれも $a^2$ に比例し、次元も整合する。