8弘前大学 2011年 数学 第8問解答・解説

・ 20頂点から2頂点を選んだ組のうち、辺となる20組を除けば対角線の本数である。したがって $$\displaystyle \binom{20}{2}-20=190-20=170.$$

・ 選んだ3頂点を円周順に並べ、その間の頂点間隔を$a,b,c$とする。$a+b+c=20$であり、$P$と辺を共有しない条件は$a,b,c\ge 2$である。三角形の内角の多重集合は$\{\pi a/20,\pi b/20,\pi c/20\}$だから、同じ円に内接する三角形の合同類は$a,b,c$の順序を除いた組で一意に定まる。よって$a\ge b\ge c\ge2$として数える。 $$\begin{array}{c|ccccc} c&2&3&4&5&6\\\hline b\text{ の範囲}&2\le b\le9&3\le b\le8&4\le b\le8&5\le b\le7&6\le b\le7\\ \text{個数}&8&6&5&3&2 \end{array}$$ したがって求める数は$8+6+5+3+2=24$個である。