2新潟大学 2011年 数学 第2問解答・解説

【追加仮定（原文に明記なし）】各秒の方向の選択は、原文に示された各$1/2$の確率に従い、過去の選択から独立に行うと仮定します。各秒の確率だけでは、複数回の選択の同時分布は一意に定まりません。

(1) 1秒後の位置は $1$ または $-1$ なので $p_1=0$。2秒後に原点へ戻るのは、移動の組が $(+1,-1)$ または $(-1,+1)$ の2通りである。全4通りは同様に確からしいから $$\displaystyle p_2=\frac{2}{4}=\frac12.$$

(2) $n$ 回のうち正の向きに進む回数を $k$ とすると、終点の位置は $k-(n-k)=2k-n$。原点に戻る条件は $k=n/2$ である。$n$ が奇数ならこれは不可能なので $p_n=0$。$n$ が偶数なら、正の向きに進む $n/2$ 回の選び方は $\displaystyle \binom{n}{n/2}$ 通りであり、各移動列の確率は $2^{-n}$ だから $$\displaystyle p_n=\frac{\binom{n}{n/2}}{2^n}.$$

(3) $n$ 回のうち $+3$ 進む回数を $k$ とすると、残り $n-k$ 回は $-1$ 進み、終点の位置は $$3k-(n-k)=4k-n.$$ これが0となるのは $k=n/4$ のときに限る。したがって $4\mid n$ でなければ $p_n=0$。$4\mid n$ なら、$n/4$ 回の $+3$ の選び方が $\displaystyle \binom{n}{n/4}$ 通りで、各移動列の確率は $2^{-n}$ なので $$\displaystyle p_n=\frac{\binom{n}{n/4}}{2^n}.$$