5新潟大学 2011年 数学 第5問解答・解説

(1) 仮定から $$A=f(1)-f(0)-1=a+b\text{ は整数},\qquad B=f(-1)-f(0)+1=a-b\text{ は整数},\qquad c=f(0)\text{ は整数}.$$ よって任意の整数 $n$ に対し $$\displaystyle f(n)=n^3+c+\frac A2n(n+1)+\frac B2n(n-1).$$ $n(n+1)$ と $n(n-1)$ はともに偶数なので、右辺は整数である。

(2) $g(t)=f(t+2011)$ とおくと $g$ も最高次係数1の三次式で、 $$g(-1)=f(2010),\quad g(0)=f(2011),\quad g(1)=f(2012)$$ はいずれも整数。 (1) を $g$ に適用すると全整数 $m$ で $g(m)$ は整数。$m=n-2011$ とすれば $f(n)=g(m)$ は整数である。