2昭和大学 2011年 数学 第2問解答・解説

$m=a+b$，$p=ab$ とおく。仮定から $m$ は奇整数，$p$ は偶整数である。

(1) $$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=m^2-2p.$$ $m^2$ は奇整数，$2p$ は偶整数なので，右辺は整数かつ奇数である。

(2) $$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=m^3-3pm.$$ $m^3$ は奇整数であり，$3pm$ は偶整数である。したがって $a^3+b^3$ は整数かつ奇数である。

(3) $S_n=a^n+b^n$ とおく。$n\geq3$ について $$\begin{aligned} (a+b)(a^{n-1}+b^{n-1})-ab(a^{n-2}+b^{n-2}) &=a^n+b^n\\ &=S_n, \end{aligned}$$ よって $$S_n=mS_{n-1}-pS_{n-2}.$$ まず $S_1=m$ は奇整数であり，(1)より $S_2=m^2-2p$ も奇整数である。$n\geq3$ とし，$S_{n-1},S_{n-2}$ がともに奇整数であると仮定すると，$mS_{n-1}$ は奇整数，$pS_{n-2}$ は偶整数だから，漸化式より $S_n$ は奇整数である。したがって数学的帰納法により，すべての正整数 $n$ について $a^n+b^n$ は整数かつ奇数である。

(4) $$\displaystyle a=\frac{5+\sqrt{17}}2,\qquad b=\frac{5-\sqrt{17}}2$$ とする。このとき $$\displaystyle a+b=5,\qquad ab=\frac{25-17}{4}=2,$$ なので条件を満たす。$17$ は素数である。もし $\sqrt{17}=r/s$（$r,s$ は互いに素な整数，$s\ne0$）なら $r^2=17s^2$ となる。$17$ は素数なので $17\mid r$ である。$r=17u$ とおくと $s^2=17u^2$ となるから $17\mid s$ でもあり，互いに素であることに反する。よって $\sqrt{17}$ は無理数であり，$a,b$ はどちらも整数ではない。