7千葉大学 2015年 数学 第7問解答・解説

(1) $\alpha$ と $\beta$ は $x^2-bx-c=0$ の解だから $$\alpha^2=b\alpha+c,\qquad \beta^2=b\beta+c.$$ 各式にそれぞれ $\alpha^{n-1}$、$\beta^{n-1}$ を掛けて加えると、$n\geq1$ に対して $$\alpha^{n+1}+\beta^{n+1} =b(\alpha^n+\beta^n)+c(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1}).$$ 数列の定義から、これは $$a_{n+2}=b a_{n+1}+c a_n$$ を意味する。

(2) まず必要性を示す。解と係数の関係により $\alpha+\beta=b$、$\alpha\beta=-c$ なので $$a_2=b,\qquad a_3=\alpha^2+\beta^2=b^2+2c.$$ すべての $a_n$ が整数なら $b=a_2$ は整数であり、$m=2c=a_3-b^2$ も整数である。(1) の漸化式を用いると $$a_4=b a_3+c a_2=b^3+3bc,$$ $$\displaystyle a_5=b a_4+c a_3=b^4+4b^2c+2c^2 =b^4+2b^2m+\frac{m^2}{2}.$$ $a_5,b,m$ は整数なので $m^2/2$ も整数、すなわち $m^2$ は偶数である。整数 $m$ の平方が偶数なら $m$ も偶数だから $c=m/2$ は整数である。

逆に $b,c$ が整数なら $a_1=2$、$a_2=b$ は整数である。(1) の漸化式で、連続する二項が整数なら次の項も整数となる。したがって帰納法によりすべての $n\geq1$ について $a_n$ は整数である。以上から、必要十分条件は $b,c$ がともに整数であること。