8千葉大学 2015年 数学 第8問解答・解説

同じ面が続けて出る回数を $r$ とする。第1回の得点は $1$ 点であり、第2回以降の $n-1$ 回では、異なる面なら $1$ 点、同じ面なら $2$ 点なので、 $$\text{得点}=1+2r+((n-1)-r)=n+r.$$ したがって得点が $m$ 点であることは $r=m-n$ と同値である。

最初に出る面を $2$ 通りから選び、隣り合う $n-1$ 組のうち同じ面となる $r$ 組を選ぶと、残りの組では面が反転するため、出方は一意に定まる。よって、得点が $n+r$ 点となる出方は $\displaystyle 2\binom{n-1}{r}$ 通りである。全 $2^n$ 通りは同様に確からしいから、 $$\displaystyle P_{n,n+r}=\frac{2\binom{n-1}{r}}{2^n}=\frac{\binom{n-1}{r}}{2^{n-1}}.$$

(1) $n\ge2$ のとき、$m=2n-1$ なら $r=n-1$ なので $\displaystyle P_{n,2n-1}=\frac{1}{2^{n-1}}$。また $m=2n-2$ なら $r=n-2$ なので $$\displaystyle P_{n,2n-2}=\frac{\binom{n-1}{n-2}}{2^{n-1}}=\frac{n-1}{2^{n-1}}.$$

(2) $r=m-n$ を代入して、 $$\displaystyle P_{n,m}=\frac{\binom{n-1}{m-n}}{2^{n-1}}\quad(n\le m\le2n-1).$$