12千葉大学 2015年 数学 第12問解答・解説

時刻を $t$ ($0\le t\le2\pi$) とする。一定の速さで $P_1$ は1周、$P_2$ は2周するから、それぞれの偏角は $t$、$2t$ であり、 $$\displaystyle P_1=(\cos t,\sin t),\qquad P_2=\left(-\frac32+\frac12\cos2t,\frac12\sin2t\right).$$ したがって中点 $M=(x,y)$ は $$\displaystyle x=\frac12\cos t+\frac14\cos2t-\frac34, \qquad y=\frac12\sin t+\frac14\sin2t.$$ ここで極の原点を $(-1,0)$ とし、$X=x+1,\ Y=y$ とおく。倍角の公式から $$\displaystyle X=\frac12(1+\cos t)\cos t, \qquad Y=\frac12(1+\cos t)\sin t.$$ よって、この原点での極座標 $(\rho,\theta)$ は $$\displaystyle \rho=\frac12(1+\cos t),\qquad \theta=t.$$ したがって軌跡はカージオイドである。$t=\pi$ で尖点 $(-1,0)$、$t=0,2\pi$ で右端 $(0,0)$ を通り、$t=\pi/2,3\pi/2$ ではそれぞれ $(-1,1/2),(-1,-1/2)$ となるので、これらを目印として $x$ 軸対称に図示できる。

角度幅を細かく分けた扇形の面積和を積分にすると、囲まれる面積は極方程式から $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\frac12\int_0^{2\pi}\rho^2\,d\theta =\frac18\int_0^{2\pi}(1+\cos\theta)^2\,d\theta\\ &=\frac18\left(2\pi+2\int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta+\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta\right)\\ &=\frac18(2\pi+0+\pi)=\frac{3\pi}{8}, \end{aligned}$$ ただし $\cos^2\theta=(1+\cos2\theta)/2$ を用いた。

図示用媒介表示は $$\displaystyle x=-1+\rho\cos t,\quad y=\rho\sin t,\quad \rho=\frac{1+\cos t}{2}\quad(0\le t\le2\pi).$$ 添付 diagram.svg はこの式から作成した。