6千葉大学 2015年 数学 第6問解答・解説

（1）$k=3q+r\ (r=0,1,2)$ とおくと、$2^k=2^{3q+r}=8^q2^r\equiv 2^r\pmod 7$ である。$r=0,1,2$ に対する余りはそれぞれ $1,2,4$ だから、余りが4であることから $r=2$、すなわち $k$ を3で割った余りは2である。

（2）$4m+5n$ が3で割り切れるので、$m+2n\equiv0\pmod 3$、したがって $m\equiv n\pmod 3$ である。よって $mn\equiv m^2\pmod 3$ となり、$mn$ を3で割った余りは0または1である。一方、$2^3\equiv1\pmod 7$ なので、$2^x$ を7で割った余りは $x$ を3で割った余りが0,1,2のとき、それぞれ1,2,4となる。ここで $mn$ の余りは0または1だから、$2^{mn}$ の余りは1または2であり、4ではない。