4徳島大学 2015年 数学 第4問解答・解説

(1) a=5 なので、箱に入れる球のうち3の倍数は 3,6,9 であり、これら3個はすべて箱 A に入る。残る 1,2,4,7,8,10 のうち3個を箱 B に選べば、残りが箱 C に決まるから、$\displaystyle \binom{6}{3}=20$ 通り。

(2) a=10 のとき、残る 1 から 9 までの数を 3 で割った余りごとに分けると、各剰余の数は3個ずつである。箱 A の3数の和が3の倍数になるのは、3数の剰余がすべて等しい場合、または 0,1,2 が1個ずつの場合である。したがって箱 A の選び方は $\displaystyle 3\binom{3}{3}+3^3=30$ 通り。各選び方に対し、残る6個から箱 B の3個を選ぶと箱 C が決まるので、$\displaystyle 30\binom{6}{3}=600$ 通り。

(3) 1 から 10 までを3で割った余りごとに分けると、余り 0,1,2 の球はそれぞれ 3,4,3 個である。和が3の倍数となる3個の剰余の組は、同じ剰余が3個、または 0,1,2 が1個ずつである。

3 箱すべてが 0,1,2 を1個ずつ含む場合、余り 0 の球と余り 2 の球を各箱に配る方法はそれぞれ 3! 通りであり、余り 1 の球は4個から3個を選んで箱に配るので、$\displaystyle \binom{4}{3}\cdot3!$ 通り。よって 3!$\cdot$3!$\cdot$$\displaystyle \binom{4}{3}\cdot3!$=864 通り。

3 箱すべてが同じ剰余の球だけを含む場合、余り 0,1,2 の球数が 3,4,3 個であることから、各剰余を1箱ずつ割り当てるほかない。剰余の割当ては 3! 通りで、余り 1 の球を4個から3個選ぶ方法は $\displaystyle \binom{4}{3}$ 通りだから、$\displaystyle 3!\binom{4}{3}=24$ 通り。

混合型（余り }0,1,2 を1個ずつ含む箱）が1箱または2箱の場合、残る同一剰余型の箱が必要とする球数が各剰余の手持ち数を超えるため不可能である。以上より、求める総数は $864+24=888$ 通り。