2徳島大学 2015年 数学 第2問解答・解説

(1) 部分積分を用いる。$u=\log(x+1),\ dv=x\,dx$ とすると、$\displaystyle du=\frac{1}{x+1}\,dx,\ v=\frac{x^2}{2}$ である。また $$\displaystyle \frac{x^2}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}$$ だから $$\displaystyle \begin{aligned} \int x\log(x+1)\,dx &=\frac{x^2}{2}\log(x+1)-\frac12\int\frac{x^2}{x+1}\,dx\\ &=\frac{x^2}{2}\log(x+1)-\frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}-\frac12\log(x+1). \end{aligned}$$ 従って $$\displaystyle \int\{ax-x\log(x+1)\}\,dx =\frac{ax^2}{2}-\frac{x^2-1}{2}\log(x+1)+\frac{x^2}{4}-\frac{x}{2}+C.$$ この右辺を微分すると $ax-x\log(x+1)$ に戻る。

(2) 対数の定義域は $x>-1$ であり、 $$ax-x\log(x+1)=x\{a-\log(x+1)\}=0$$ より $x=0$、または $\log(x+1)=a$、すなわち $x=e^a-1$ である。$a>0$ なので二つの解は異なる。積分範囲 $0\le x\le1$ 内に後者の解が入るのは $0<a\leq\log 2$ のときである。

(3) $f(x)=ax-x\log(x+1)$、$r=e^a-1$ とおく。(1)の原始関数の定数項を除いたものを $F(x)$ とすると、$F(0)=0$、$\displaystyle F(1)=\frac a2-\frac14$ である。$x\geq0$ では $f(x)=x\{a-\log(x+1)\}$ の符号は $a-\log(x+1)$ の符号と一致する。

$0<a<\log2$ なら $0<r<1$ で、$f$ は $0\le x\le r$ で非負、$r\le x\le1$ で非正である。従って $$\displaystyle \begin{aligned} F(r) &=\frac{ar^2}{2}-\frac{r^2-1}{2}\log(r+1)+\frac{r^2}{4}-\frac r2\\ &=\frac a2+\frac{r^2-2r}{4} =\frac a2+\frac{e^{2a}-4e^a+3}{4},\\ I&=\int_0^r f(x)\,dx-\int_r^1 f(x)\,dx =2F(r)-F(1) =\frac{2a+2e^{2a}-8e^a+7}{4}. \end{aligned}$$ 一方、$a\geq\log2$ なら $a\geq\log(x+1)$ が $0\leq x\leq1$ で成り立つので $f(x)\geq0$ であり、 $$\displaystyle I=F(1)-F(0)=\frac a2-\frac14.$$ よって $$\displaystyle I=\begin{cases} \dfrac{2a+2e^{2a}-8e^a+7}{4},&0<a<\log2,\\[4pt] \dfrac a2-\dfrac14,&a\geq\log2. \end{cases}$$ 境界 $a=\log2$ では前者の式の極限も $\displaystyle \frac12\log2-\frac14$ となり、符号が切り替わる根が区間の端点に一致する。

(4) $0<a<\log2$ では $$\displaystyle I'(a)=\frac12+e^{2a}-2e^a=(e^a-1)^2-\frac12.$$ ここで $e^a-1>0$ は $a$ とともに増加するので、$I'(a)=0$ はただ一度だけ起こり、その点は $$\displaystyle e^a-1=\frac1{\sqrt2},\qquad a=\log\left(1+\frac1{\sqrt2}\right)$$ である。この値は $1+1/\sqrt2<2$ より $\log2$ より小さい。導関数はこの値より左で負、右で正である。また $a\geq\log2$ では $\displaystyle I'(a)=\frac12>0$ だから、この値で全体の最小となる。なお最小値は $\displaystyle I=\frac12\{\log(1+1/\sqrt2)+1-\sqrt2\}$ である。