5京都大学 2017年 数学 第5問解答・解説

$L=\sqrt{2},\quad f(x)=xe^{-x}$.

$0<a<1$ で曲線と直線の正の交点を $t$ とすると $e^{-t}=a,\quad t=-\log a$ である。

$$\displaystyle S(a)=\begin{cases}\displaystyle\int_0^L x(e^{-x}-a)\,dx & 0\le a\le e^{-L},\\[4pt]\displaystyle\int_0^t x(e^{-x}-a)\,dx+\int_t^L x(a-e^{-x})\,dx & e^{-L}<a<1,\\[4pt]\displaystyle\int_0^L x(a-e^{-x})\,dx & a\ge1.\end{cases}$$

中間の場合、積分の境界項は $e^{-t}=a$ により消えるので、 $\displaystyle \frac{dS}{da}=-\int_0^t x\,dx+\int_t^L x\,dx=\frac{L^2-2t^2}{2}=1-t^2$.

$0\le a\le e^{-L}$ では $S'(a)=-L^2/2=-1$、$a\ge1$ では $S'(a)=L^2/2=1$。したがって全域で最小となるのは $t=1$、すなわち $a=e^{-1}$ である。

$\displaystyle S(e^{-1})=\int_0^1 x(e^{-x}-e^{-1})\,dx+\int_1^{\sqrt2}x(e^{-1}-e^{-x})\,dx=1-\frac4e+(1+\sqrt2)e^{-\sqrt2}$.

交点で面積を分割し、パラメータ $a$ で微分して面積和の最小点を求める。