2京都大学 2017年 数学 第2問解答・解説

(1) $\vec a=\overrightarrow{OA},\ \vec b=\overrightarrow{OB},\ \vec c=\overrightarrow{OC}$ とする。OABCは四面体なので、$\vec a,\vec b,\vec c$ は一次独立である。$0<u,v,w,t<1$ として $$\overrightarrow{OD}=u\vec a,\quad \overrightarrow{OE}=(1-v)\vec a+v\vec b,\quad \overrightarrow{OF}=(1-w)\vec b+w\vec c,\quad \overrightarrow{OG}=t\vec c$$ と表すと $$\overrightarrow{DG}=-u\vec a+t\vec c,\qquad \overrightarrow{EF}=-(1-v)\vec a+(1-w-v)\vec b+w\vec c.$$ $\overrightarrow{DG}\parallel\overrightarrow{EF}$ かつ $\vec a,\vec b,\vec c$ の一次独立性から、$\overrightarrow{EF}$ の $\vec b$ 成分は0である。よって $1-w-v=0$、すなわち $v=1-w$。ここで $$\displaystyle v=\frac{AE}{AB},\quad 1-v=\frac{EB}{AB},\quad w=\frac{BF}{BC},\quad 1-w=\frac{CF}{BC}$$ だから $$AE:EB=v:(1-v)=(1-w):w=CF:FB.$$

(2) 六点の凸包は正八面体である。面OABの平面に対し、D,E,Hはその平面上にあり、F,G,IはCを含む辺の内部点なので平面OABのC側にある。したがってDEHは凸包の面であり、正三角形である。同じ理由でEFI、FGH、GIDも正三角形である。これら4面に含まれる辺は $$DE,DH,EH,\ EF,EI,FI,\ FG,FH,GH,\ GI,GD,ID$$ である。残る3組 $DF,EG,HI$ が正八面体の対頂点であるため、それらを結ぶ対角線の中点は一致する。

$$\vec{OD}+\vec{OF} =\vec{OE}+\vec{OG} =\vec{OH}+\vec{OI}.$$ $0<d,e,f,g,h,i<1$ として $$\begin{aligned} \vec{OD}&=d\vec a,& \vec{OE}&=(1-e)\vec a+e\vec b,& \vec{OF}&=(1-f)\vec b+f\vec c,\\ \vec{OG}&=g\vec c,& \vec{OH}&=h\vec b,& \vec{OI}&=(1-i)\vec a+i\vec c \end{aligned}$$ とおく。一次独立な $\vec a,\vec b,\vec c$ の係数を比較すると $$d=1-e,\quad 1-f=e,\quad f=g,\quad e=i,\quad e=h,\quad g=i.$$ よって $f=g=i=e$ かつ $f=1-e$ なので $e=1/2$。したがって $d=f=g=h=i=1/2$ でもあり、六点は各辺の中点である。

四面体OABCの各面で、辺の中点を結んだ三角形は元の三角形の各辺の半分の長さをもつ。4つの中点三角形DEH, EFI, FGH, GIDがすべて正三角形なので、OABCの各面も正三角形である。ゆえに6辺が等しく、OABCは正四面体である。

元の条件からwの軌跡を必要十分条件の円の方程式に変形し、r=1/2の直線とそれ以外の円を分けて求める。出典範囲の確認は未解決。