4長崎大学 2017年 数学 第4問解答・解説

(1) 原点を $A$ に取り、$\overrightarrow{AB}=\mathbf b$、$\overrightarrow{AC}=\mathbf c$ とおく。$M$ は $BC$ の中点なので $\displaystyle \overrightarrow{AM}=\frac{\mathbf b+\mathbf c}{2}$ であり、$N$ は $AC$ の中点なので $\displaystyle \overrightarrow{AN}=\frac{\mathbf c}{2}$ である。$G$ は $AM$ 上にあるから $\displaystyle \overrightarrow{AG}=t\frac{\mathbf b+\mathbf c}{2}$ とおける。また $G$ は $BN$ 上にもあるから、ある実数 $s$ に対して $$\displaystyle \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG} =\mathbf b+s\overrightarrow{BN} =(1-s)\mathbf b+\frac{s}{2}\mathbf c.$$となる。$\mathbf b,\mathbf c$ は一次独立であるから係数を比較して $\displaystyle \frac t2=1-s,\quad \frac t2=\frac s2$ を得る。後式から $s=t$、これを前式に代入すると $\displaystyle t=\frac23$ である。したがって $$\displaystyle \overrightarrow{AG}=\frac13(\mathbf b+\mathbf c) =\frac13\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).$$

(2) $A,B,C,P,Q,G$ の位置ベクトルをそれぞれ $\mathbf a$,$\mathbf b$,$\mathbf c$,$\mathbf p$,$\mathbf q$,$\mathbf g$ とする。(1)より $$\displaystyle \mathbf g=\mathbf a+\frac13\{(\mathbf b-\mathbf a)+(\mathbf c-\mathbf a)\} =\frac{\mathbf a+\mathbf b+\mathbf c}{3}.$$ 条件を位置ベクトルで表すと $$(\mathbf a-\mathbf p)+(\mathbf b-\mathbf p)+(\mathbf c-\mathbf p) =\mathbf q-\mathbf p.$$ よって $$\overrightarrow{PQ}=\mathbf q-\mathbf p =\mathbf a+\mathbf b+\mathbf c-3\mathbf p =3(\mathbf g-\mathbf p)=3\overrightarrow{PG}.$$ したがって $\overrightarrow{PQ}$ と $\overrightarrow{PG}$ は平行であり、$P,Q,G$ は同一直線上にある。$\overrightarrow{PG}=\mathbf0$ の場合は上式から $Q=P=G$ となるので、この場合も3点は同一直線上にある。

(3) 座標で計算すると $$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC} =(0,0,1)+(7,0,6)+(2,12,5)-3(x,y,0) =(9-3x,12-3y,12).$$ したがって $$\left|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}\right| =3\sqrt{(x-3)^2+(y-4)^2+16}\ge 3\sqrt{16}=12.$$ 等号は $x=3,\quad y=4$ のときに限り成り立つ。よって最小値は $12$ で、そのとき $P=(3,4,0)$ である。

(4) 円周上では $x^2+y^2=1$ だから、 $$(x-3)^2+(y-4)^2=26-6x-8y=26-2(3x+4y).$$ また $$(3x+4y)^2+(4x-3y)^2=25(x^2+y^2)=25$$ より $-5\le 3x+4y\le5$ である。したがって $$16\le (x-3)^2+(y-4)^2\le36.$$ 左側の等号は $\displaystyle (x,y)=\left(\frac35,\frac45\right)$ のとき、右側の等号は $\displaystyle (x,y)=\left(-\frac35,-\frac45\right)$ のときに限り成り立つ。これを $$\left|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}\right| =3\sqrt{(x-3)^2+(y-4)^2+16}$$ に代入すると、最小値は $3\sqrt{16+16}=12\sqrt2$、最大値は $3\sqrt{36+16}=6\sqrt{13}$ となる。よって最小値をとる点は $\displaystyle P=\left(\frac35,\frac45,0\right)$、最大値をとる点は $\displaystyle P=\left(-\frac35,-\frac45,0\right)$ である。