長崎大学 2017年数学第7問解答・解説

1問題

長崎大学2017年度第7問

放物線 $C:y=x^{2}$ と定点A $(0,1)$ ，B $(0,2)$ および $C$ 上の第1象限の点 $P_{1}(2,4)$ が与えられている。自然数 $n=1,2,3,\ldots$ について，以下の操作をくり返す。　 $C$ 上の第1象限の点 $P_{n}(p_{n},p_{n}^{2})$ に対し，　手順1 直線 $P_{n}A$ と $C$ との交点のうち，第2象限にあるものを $Q_{n}(q_{n},q_{n}^{2})$ とし，　手順2 直線 $Q_{n}B$ と $C$ との交点のうち，第1象限にあるものを $P_{n+1}(p_{n+1},p_{n+1}^{2})$ とする。　このとき，以下の問いに答えよ。

(1) $a$ を定数とする。直線 $y=ax+1$ と $C$ との交点のうち，第1象限にあるものを $P(p,p^{2})$ ，第2象限にあるものを $Q(q,q^{2})$ とする。このとき， $pq=-1$ が成り立つことを示せ。また，点 $Q_{1}$ の座標を求めよ。

(2) 点 $P_{2},Q_{2}$ および $P_{3}$ の座標を求めよ。

(3) 数列 $\{p_{n}\}$ および数列 $\{q_{n}\}$ の一般項をそれぞれ求めよ。

(4) $x\geq 0$ の範囲において， $C$ と直線 $P_{n}Q_{n}$ および $y$ 軸で囲まれた図形の面積 $S_{n}$ を求めよ。さらに，極限値 $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{S_{n+1}}{S_{n}}$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

解答直線 $y=ax+1$ と放物線 $y=x^2$ の交点の $x$ 座標は $x^2-ax-1=0$ の解なので、積は $-1$ 。 $P_1A$ の直線は $\displaystyle y=\frac32x+1$ で、交点の $x$ 座標は $\displaystyle 2,-\frac12$ 。したがって $\displaystyle Q_1=(-\frac12,\frac14)$ 。

$Q_nB$ の直線は傾き $q_n-2/q_n$ をもち、放物線との交点の $x$ 座標を解とする二次方程式の解の積は $-2$ 。一方の根が $q_n$ なので、他方は $p_{n+1}=-2/q_n$ 。また $q_n=-1/p_n$ だから $p_{n+1}=2p_n$ 。初項 $p_1=2$ から $p_n=2^n$ 、 $q_n=-2^{-n}$ 。特に $P_2=(4,16)$ 、 $\displaystyle Q_2=(-\frac14,\frac1{16})$ 、 $P_3=(8,64)$ 。

$P_n,Q_n,A$ を通る直線は $y=(p_n-p_n^{-1})x+1$ 。 $0\le x\le p_n$ では直線と放物線の差が $(p_n-p_n^{-1})x+1-x^2=(p_n-x)(x+p_n^{-1})\ge0$ となるので、この区間で差を積分する。 $\displaystyle S_n=\int_0^{p_n}\bigl((p_n-p_n^{-1})x+1-x^2\bigr)dx =\frac{p_n^3+3p_n}{6}=\frac{2^{3n}+3\cdot2^n}{6}.$ よって $\displaystyle \frac{S_{n+1}}{S_n}=8-\frac{18}{4^n+3}\longrightarrow8.$

この問題で使う考え方

二次方程式とグラフ
解と係数の関係
直線の方程式
不定積分
定積分
定積分による面積
漸化式
等比数列の一般項と和

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2解答

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