8長崎大学 2017年 数学 第8問解答・解説

(1) 半径が $1$、中心角が $\beta-\alpha$ の扇形なので、 $$\displaystyle S_1=\frac{1}{2}(\beta-\alpha).$$

(2) $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$ に対し、円の内部で $0\le x\le\cos\theta$ かつ $x$ 軸の上側にある部分の面積を $Q_\theta$ とする。この部分は、中心角 $\displaystyle \frac{\pi}{2}-\theta$ の扇形と、底辺 $\cos\theta$、高さ $\sin\theta$ の直角三角形に分けられる。したがって $$\displaystyle Q_\theta=\frac12\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)+\frac12\sin\theta\cos\theta.$$ 図形 $F$ は $Q_\alpha$ から $Q_\beta$ を除いた部分だから、 $$\displaystyle S_2=Q_\alpha-Q_\beta=\frac12\left(\beta-\alpha+\sin\alpha\cos\alpha-\sin\beta\cos\beta\right).$$

(3) $S_1=S_2$ より $\sin\alpha\cos\alpha=\sin\beta\cos\beta$、すなわち $\sin 2\alpha=\sin 2\beta$ である。$0<2\alpha<2\beta<\pi$ かつ $2\alpha\ne2\beta$ なので、正弦の対称性から $2\alpha+2\beta=\pi$ を得る。よって $$\displaystyle \beta=\frac{\pi}{2}-\alpha.$$ さらに $\alpha<\beta$ より $\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{4}$。このとき $$t=\cos\alpha-\cos\beta=\cos\alpha-\sin\alpha.$$ $\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{4}$ から $0<\sin\alpha<\cos\alpha<1$ なので、$0<t<1$ である。

(4) $c=\cos\alpha$、$d=\cos\beta$ とおく。扇形 $OAB$ の縦断面は、$0\le x\le d$ では $y=x\tan\alpha$ と $y=x\tan\beta$ の間、$d\le x\le c$ では $y=x\tan\alpha$ と $y=\sqrt{1-x^2}$ の間にある。したがって円板・円環の断面積を積分すると $$\displaystyle V_1=\pi\int_0^d x^2(\tan^2\beta-\tan^2\alpha)\,dx+\pi\int_d^c\left(1-x^2-x^2\tan^2\alpha\right)\,dx.$$ 一方、$F$ の回転体は $d\le x\le c$ で半径 $\sqrt{1-x^2}$ の円板を断面にもつから $$\displaystyle V_2=\pi\int_d^c(1-x^2)\,dx.$$ よって $$\displaystyle V=V_1-V_2=\frac{\pi}{3}\left(\sin^2\beta\cos\beta-\sin^2\alpha\cos\alpha\right).$$ (3) の関係 $\displaystyle \beta=\frac{\pi}{2}-\alpha$ を用いると、$\sin^2\beta\cos\beta-\sin^2\alpha\cos\alpha=\sin\alpha\cos\alpha(\cos\alpha-\sin\alpha)$ であり、 $$\displaystyle \sin\alpha\cos\alpha=\frac{1-t^2}{2}$$ だから $$\displaystyle V=\frac{\pi}{6}t(1-t^2).$$

(5) $0<t<1$ において $$\displaystyle V'(t)=\frac{\pi}{6}(1-3t^2)$$ である。したがって $\displaystyle 0<t<\frac{1}{\sqrt3}$ で $V$ は増加し、$\displaystyle \frac{1}{\sqrt3}<t<1$ で減少する。よって最大値は $\displaystyle t=\frac{1}{\sqrt3}$ のときにとり、 $$\displaystyle V_{\max}=\frac{\pi}{6}\cdot\frac{1}{\sqrt3}\left(1-\frac13\right)=\frac{\pi}{9\sqrt3}.$$ このとき $\displaystyle \cos\alpha-\sin\alpha=\frac1{\sqrt3}$ であり、$\cos\alpha+\sin\alpha>0$ かつ $$\displaystyle (\cos\alpha+\sin\alpha)^2=2-(\cos\alpha-\sin\alpha)^2=\frac53$$ だから $\displaystyle \cos\alpha+\sin\alpha=\frac{\sqrt{15}}{3}$。和と差から $$\displaystyle \cos\alpha=\frac{\sqrt{15}+\sqrt3}{6},\qquad \sin\alpha=\frac{\sqrt{15}-\sqrt3}{6}.$$ また $\displaystyle \beta=\frac{\pi}{2}-\alpha$ より $\cos\beta=\sin\alpha$、$\sin\beta=\cos\alpha$ である。ゆえに $$\displaystyle A=\left(\frac{\sqrt{15}+\sqrt3}{6},\frac{\sqrt{15}-\sqrt3}{6}\right),\qquad B=\left(\frac{\sqrt{15}-\sqrt3}{6},\frac{\sqrt{15}+\sqrt3}{6}\right).$$