5群馬大学 2010年 数学 第5問解答・解説

回転軸方向とそれに垂直な方向の座標を $$u=x\cos\theta+y\sin\theta,\qquad v=-x\sin\theta+y\cos\theta$$ とする。この回転は距離を保つので $u^2+v^2=x^2+y^2\le1$ である。また逆変換 $x=u\cos\theta-v\sin\theta$、$y=u\sin\theta+v\cos\theta$ を用いる。

(1) $\theta=0$ では四分の一円を $x$ 軸のまわりに回転するので、半径1の半球となり $V(0)=2\pi/3$ である。(2) の式に $\theta=\pi/4$ を代入すると $\displaystyle V(\pi/4)=\frac{2\pi}{3}(1-1/\sqrt2)$。

(2) $0<\theta\le\pi/4$ とする。条件 $x,y\ge0$ は $$-u\tan\theta\le v\le u\cot\theta$$ となる。$0\le u\le1$ を満たす $u$ を一つ固定すると、$v$ の範囲は上の不等式と $-\sqrt{1-u^2}\le v\le\sqrt{1-u^2}$ の両方を満たす範囲であり、$0$ を含む。そのため回転後の断面は半径 $$\displaystyle R(u)=\min\{u\cot\theta,\sqrt{1-u^2}\}$$ の円盤となる。2つの候補が等しくなるのは $u=\sin\theta$ だから $$\displaystyle V(\theta)=\pi\left\{\cot^2\theta\int_0^{\sin\theta}u^2\,du+\int_{\sin\theta}^1(1-u^2)\,du\right\} =\frac{2\pi}{3}(1-\sin\theta).$$ $\theta=0$ でも直接 $R(u)=\sqrt{1-u^2}$ として同じ式 $V(0)=2\pi/3$ を得る。

(3) $x$ と $y$ を交換しても四分の一円は変わらず、軸の角 $\theta$ は $\pi/2-\theta$ に移るので $V(\theta)=V(\pi/2-\theta)$ である。(2) より $0\le\theta\le\pi/4$ では $\sin\theta$ の増加に伴って $V(\theta)$ は減少する。対称性から $\pi/4\le\theta\le\pi/2$ では増加するため、最小となるのは $$\displaystyle \theta=\frac\pi4$$ である。