4群馬大学 2010年 数学 第4問解答・解説

(1) $\overrightarrow{AC}=(4,-2,-2)$ なので、直線 $AC$ 上の点を $A+t\overrightarrow{AC}$ とおくと、その $z$ 座標は $3-2t$ である。$xy$ 平面との交点では $t=3/2$。よって $P=(8,-1,0)$ で $$\displaystyle AP=\frac32|\overrightarrow{AC}|=\frac32\sqrt{24}=3\sqrt6.$$

(2) 距離の二乗は $$AB^2=8,\qquad BC^2=16,\qquad AC^2=24.$$ 頂点間距離は辺長 $\ell$、$\sqrt2\ell$、$\sqrt3\ell$ のいずれかなので、これらは辺、面対角線、体対角線の順である。したがって $\ell=\sqrt8=2\sqrt2$、体積は $$\ell^3=16\sqrt2.$$

(3) $\vec u=\overrightarrow{BA}=(0,2,2)$ とする。$AC$ は体対角線なので $A,C$ は対頂点であり、$B$ から出る残りの辺ベクトルを $\vec v,\vec w$ とすると $\vec v+\vec w=\overrightarrow{BC}=(4,0,0)$。また、3ベクトルは互いに直交し長さは $2\sqrt2$。よって、順序を入れ替えて $$\vec v=(2,\sqrt2,-\sqrt2),\qquad \vec w=(2,-\sqrt2,\sqrt2).$$ 頂点を $X=B+i\vec u+j\vec v+k\vec w$ と表す。ただし、$i,j,k$ はそれぞれ $0$ または $1$ とする。$X\ne B,C$ で $$\overrightarrow{XB}\cdot\overrightarrow{XC}=8i,\quad |XB|^2=8(i+j+k),\quad |XC|^2=8(i+2-j-k).$$ $i=0$ なら角は $90^\circ$。$i=1$ では $m=j+k$ として $$\displaystyle \cos\angle BXC=\frac1{\sqrt{(1+m)(3-m)}}.$$ これが $1/2$ になるのは $m=1$ のときだけである。したがって該当頂点は $$B+\vec u+\vec v=(4,2+\sqrt2,3-\sqrt2),\qquad B+\vec u+\vec w=(4,2-\sqrt2,3+\sqrt2).$$