群馬大学 2010年数学第1問解答・解説

1問題

群馬大学2010年度第1問

(1) n を自然数とし, $\log_{10}2 = 0.3010$ , $\log_{10}3 = 0.4771$ とする。 (ア) $\displaystyle 10^{n} < \left(\frac{5}{2}\right)^{m}$ を満たす自然数 m に対し, 5n < 2m を証明せよ。 (イ) $\displaystyle \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n}<\frac{1}{5000}<\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n-1}$ を満たす n を求めよ。

(2) 実数 x, y が連立不等式 $4x - 3y \geq 1$ , $-2x + 6y \geq 1$ を満たすとき, $\log_{8}(4^{x} + 8^{y})$ の最小値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)(ア)
$5n<2m\quad$ 。
(1)(イ)
$n=60$ 。
(2)
最小値 $\quad 2/3\quad$ 、 $\quad (x,y)=(1/2,1/3)\quad$ で達成。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1)(ア) 与えられた不等式を5乗すると $\displaystyle 10^{5n}<\left(\frac52\right)^{5m}.$ $(5/2)^5=3125/32<100=10^2$ だから、 $m>0$ より $(5/2)^{5m}<10^{2m}$ 。従って $10^{5n}<10^{2m}$ 。底10の指数関数は増加するので $5n<2m$ 。

(1)(イ) $r=\sqrt3/2$ とおくと $\displaystyle -\log_{10}r=\log_{10}2-\frac12\log_{10}3 =0.3010-0.23855=0.06245.$ また $\log_{10}5000=\log_{10}5+3=1-\log_{10}2+3=3.6990$ 。条件に常用対数をとり、不等号を整理すると $(n-1)(0.06245)<3.6990<n(0.06245).$ 実際 $59(0.06245)=3.68455<3.6990<3.747=60(0.06245)$ なので、この範囲を満たす整数は $n=60$ 。

(2) 制約を足すと $2x+3y\ge2$ 。 $U=4^x=2^{2x}$ 、 $V=8^y=2^{3y}$ とおけば、相加相乗平均から $4^x+8^y=U+V\ge2\sqrt{UV} =2\cdot2^{(2x+3y)/2}\ge4.$ 底8は1より大きいから $\log_8$ は増加し、 $\displaystyle \log_8(4^x+8^y)\ge\log_8 4=\frac23.$ $x=1/2,y=1/3$ では両制約が等号となり $4^x=8^y=2$ でもあるので、下限は実現し、最小値は $2/3$ 。

この問題で使う考え方

5乗による不等式比較
常用対数の計算と単調性
相加相乗平均

1問題

2答え

3解答

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