筑波大学 2010年数学第3問解答・解説

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1問題

筑波大学2010年度第3問

n を自然数とし, 1 から n までの自然数の積を n! で表す。このとき以下の問いに答えよ。

(1) 単調に増加する連続関数 $f(x)$ に対して, 不等式 $\displaystyle \int_{k-1}^{k}f(x)dx\leq f(k)$ を示せ。

(2) 不等式 $\displaystyle \int_{1}^{n}\log x dx \leq \log n!$ を示し，不等式 $n^{n}e^{1-n} \leq n!$ を導け。

(3) $x \geq 0$ に対して, 不等式 $x^{n}e^{1-x} \leq n!$ を示せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

解答を見る答えはこの解答の中にあります

分類単元は定積分、指数・対数関数、微分法。方法は単調関数の積分比較、対数積分、指数化、微分による最大値。テーマは階乗と指数関数の評価。

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