筑波大学 2010年数学第1問解答・解説

いろいろな式微分・積分の考え

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1問題

筑波大学2010年度第1問

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}ax^{2}$ とおく。ただし a>0 とする。

(1) $f(-1) \leq f(3)$ となる a の範囲を求めよ。

(2) $f(x)$ の極小値が $f(-1)$ 以下となる a の範囲を求めよ。

(3) $-1 \leq x \leq 3$ における $f(x)$ の最小値を a を用いて表せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

（1） $0<a≤7/3$ 。（2）a≧2。（3）最小値は、 $0<a≤2$ で −1/3−a/2、 $2<a≤3$ で −a³/6、 $a>3$ で 9−9a/2。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

PDF p1学科別表で医学類は問1を選択可能。p2問1のa>0と全3小問を確認。

(1) 端点の値は $f(-1)=-1/3-a/2$ 、 $f(3)=9-9a/2$ 。したがって $\displaystyle f(3)-f(-1)=\frac{28}{3}-4a\ge0\text{すなわち} 0<a\le\frac73.$ (2) $f'(x)=x(x-a)$ なので、増加・減少・増加と変わり、極小は $x=a$ で値 $-a^3/6$ 。条件は $\displaystyle -\frac{a^3}{6}\le-\frac13-\frac a2\text{すなわち} (a-2)(a+1)^2\ge0.$ $a>0$ より答えは $a\ge2$ 。 (3) 左側の $-1\leq x\leq0$ の範囲では増加する。 $0<a\le3$ なら右側の最小値は $f(a)$ 、 $a>3$ なら $f(3)$ 。左端の値と(1),(2)で比較し、 $\displaystyle \min\limits _{-1\le x\le3}f(x)=\begin{cases}-\frac13-\frac a2&0<a\le2,\\-\frac{a^3}{6}&2<a\le3,\\9-\frac92a&a>3.\end{cases}$

この問題で使う考え方

増減
端点比較
場合分け

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