信州大学 2025年数学第4問解答・解説

微分・積分の考え二次関数いろいろな式

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1問題

信州大学2025年度第4問

a は実数とする。関数 f(x) を f(x) = x³ − 3(a + 2)x² + 24ax − 2a² − 41a + 28 と定めるとき，以下の問いに答えよ。

(1) f(2) ≧ 0 となるとき, a のとり得る値の範囲を求めよ。

(2) x ≧ 2 となるすべての x に対して f(x) ≧ 0 が成り立つとき, a のとり得る値の範囲を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) -4 ≦ a ≦ 3/2。 (2) (7 - √17)/4 ≦ a ≦ 3/2。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $f(2)=-2a^2-5a+12=-(2a-3)(a+4)$ だから $\displaystyle f(2)\ge0\text{であるための必要十分条件は} -4\le a\le\frac32.$ (2) $t=x-2\ge0$ 、 $F(t)=f(t+2)$ とおくと $F(t)=t^3-3at^2+12(a-1)t-2a^2-5a+12,\qquad F'(t)=3(t-2)(t-2a+2).$ 必要条件(1)の範囲では $2a-2\le1<2$ 。 $a\le1$ なら $F$ は0から2まで減少し、その後増加する。 $1<a\le3/2$ なら0から $2a-2$ まで増加、その後2まで減少し、その後増加する。従って $t\ge0$ の最小値の候補は $F(0),F(2)$ だけである。 $\displaystyle F(2)=f(4)=-2a^2+7a-4\ge0\text{であるための必要十分条件は}\frac{7-\sqrt{17}}4\le a\le\frac{7+\sqrt{17}}4.$ (1)との共通範囲をとり $\displaystyle \boxed{\frac{7-\sqrt{17}}4\le a\le\frac32}.$

この問題で使う考え方

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