3信州大学 2025年 数学 第3問解答・解説

点$P$の位置ベクトルを$\vec{x}$、点$A,B,C$の位置ベクトルを$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$とする。距離の二乗を展開し、$\vec{x}$について平方完成すると

$$\displaystyle \begin{aligned} PA^2+2PB^2+3PC^2 &=|\vec{x}-\vec{a}|^2+2|\vec{x}-\vec{b}|^2+3|\vec{x}-\vec{c}|^2\\ &=6\left|\vec{x}-\frac{\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}}6\right|^2 +|\vec{a}|^2+2|\vec{b}|^2+3|\vec{c}|^2-\frac{|\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}|^2}{6}. \end{aligned}$$

平方完成した二乗項以外はすべて$P$の位置によらない定数である。したがって、条件式が表す円の中心の位置ベクトルは$(\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c})/6$である。問題ではその中心が$O$なので、$O$を原点とするこれらの位置ベクトルについて

$$\displaystyle \vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}=\vec{0},\qquad \vec{c}=-\frac13\vec{a}-\frac23\vec{b}.$$

よって

$$\displaystyle \overrightarrow{OC}=-\frac13\overrightarrow{OA}-\frac23\overrightarrow{OB}.$$

(2) $S_1$と$S_2$は底辺$OB$を共通にもつ。上の式で$\displaystyle -\frac23\overrightarrow{OB}$は底辺$OB$に平行だから、$C$から$OB$への高さの大きさは、$A$から$OB$への高さの$\displaystyle \frac13$倍である。したがって$\displaystyle S_2=\frac13S_1$。同様に$S_1$と$S_3$を底辺$OA$に着目して比べると、$C$から$OA$への高さの大きさは$B$から$OA$への高さの$\displaystyle \frac23$倍なので、$\displaystyle S_3=\frac23S_1$。ゆえに

$$\displaystyle S_1:S_2:S_3=1:\frac13:\frac23=3:1:2.$$