7信州大学 2025年 数学 第7問解答・解説

計算を短くするため$C=(e^p+e^{-p})/2$、$S=(e^p-e^{-p})/2$とおく。これは指数式の略記であり、$C^2-S^2=1$、$C\ge1$、$dC/dp=S$、$dS/dp=C$である。 (1) 接線方向は$(1,S)$で、長さは$C$である。従って長さ1の上向き法線方向は$(-S/C,1/C)$であり $$\displaystyle \boxed{Q=\left(p-\frac{e^p-e^{-p}}{e^p+e^{-p}},\ \frac{e^p+e^{-p}}2+\frac2{e^p+e^{-p}}\right)}.$$ この候補が原曲線の上にあることも確かめる。$p\ge0$なら$0\le S/C\le p$である。後半の不等式は$p-S/C$が$p=0$で0、その導関数が$1-1/C^2\ge0$であることから従う。よって新しい$x$座標は$0$と$p$の間であり、その位置の曲線の高さは$C$以下、$Q$の高さは$C+1/C>C$である。$p<0$でも左右対称性から同じ結論となる。反対の法線方向では$|x|\ge|p|$かつ$y=C-1/C<C$なので条件を満たさない。 (2) $p$の時間微分を$p'$と書くと、$p'>0$より $$2=|\vec u|=Cp',\qquad p'=2/C.$$ $Q$の両座標を$p$で微分すると $$\displaystyle \frac{dQ}{dp}=\left(1-\frac1{C^2},\ S\left(1-\frac1{C^2}\right)\right).$$ 従って $$\displaystyle |\vec v|=\frac2C\sqrt{1+S^2}\left(1-\frac1{C^2}\right)=2\left(1-\frac1{C^2}\right).$$ $p$は実数全体を動くので$C$は$C\ge1$ の範囲全体を動く。結論は$\boxed{0\le|\vec v|<2}$である。0は$p=0$で達成され、2は有限の$p$では達成されない。