5信州大学 2025年 数学 第5問解答・解説

初項を $a_1=a$、公差を $d$ とおけば、$a_2=a+d$、$a_3=a+2d$ である。

$\displaystyle a_1,\frac{a_2}{3},\frac{a_3}{5}$ が等比数列で、$a_1=a\ne0$ だから $$\displaystyle \left(\frac{a+d}{3}\right)^2=a\frac{a+2d}{5}.$$ これを整理すると $$\begin{aligned} 5(a+d)^2&=9a(a+2d),\\ 5d^2-8ad-4a^2&=0,\\ (d-2a)(5d+2a)&=0. \end{aligned}$$ $d=2a$ のとき三数は $a,a,a$ で公比が1となり不適。$\displaystyle d=-\frac25a$ のときは $\displaystyle a,\frac15a,\frac1{25}a$ で、公比は $1/5\ne1$。従って公差は $\displaystyle d=-\frac25a$、一般項は $$\displaystyle \begin{aligned} a_n&=a+(n-1)d\\ &=a-\frac25a(n-1)\\ &=\frac{7-2n}{5}a\quad(n=1,2,\ldots). \end{aligned}$$