4筑波大学 2017年 数学 第4問解答・解説

第4問

(1) $x>0$ より $x^2>0$ であるから、$f(x)=0$ は $$x^2f(x)=2x^4-9x^3+14x^2-9x+2=(x-1)^2(2x-1)(x-2)=0$$ と同値である。したがって解は $$\displaystyle \boxed{x=\frac12,\ 1,\ 2}$$ であり、$x=1$ は重解である。

(2) $\displaystyle t=x+\frac1x$ とおくと $$\displaystyle t-2=\frac{(x-1)^2}{x}\geq0,\qquad f(x)=2t^2-9t+10=2\left(t-\frac94\right)^2-\frac18.$$ また $$\displaystyle f'(x)=(4t-9)\left(1-\frac1{x^2}\right).$$ 臨界点は $x=1$、または $\displaystyle t=\frac94$ を満たす点である。後者は $$\displaystyle 4x^2-9x+4=0 \quad\text{ならば}\quad x=\frac{9\pm\sqrt{17}}8.$$ $t$ は $x=1$ で最小値2をとり、$x=1$ の近くで $t>2$ となる。この範囲では $2t^2-9t+10$ は減少するので、$x=1$ は極大点で極大値は $f(1)=0$。$\displaystyle t=\frac94$ では二次式が最小となるため、2点 $$\displaystyle x=\frac{9-\sqrt{17}}8,\quad \frac{9+\sqrt{17}}8$$ で極小値 $\displaystyle -\frac18$ をとる。これ以外に臨界点はない。

(3) 因数分解形から、$f(x)<0$ は $$\displaystyle \frac12<x<1\ \text{または}\ 1<x<2$$ である。従って囲まれた2つの部分の総面積は、$x=1$ での接触点をまたいで $$\displaystyle -\int_{1/2}^{2} f(x)\,dx$$ と表せる。原始関数を $$\displaystyle F(x)=\frac23x^3-\frac92x^2+14x-9\ln x-\frac2x$$ とすると $$\displaystyle F(2)=\frac{43}{3}-9\ln2,\qquad F\left(\frac12\right)=\frac{47}{24}+9\ln2.$$ よって総面積は $$\displaystyle \boxed{18\ln2-\frac{99}{8}}.$$ なお、各部分の面積はそれぞれ $\displaystyle 9\ln2-\frac{149}{24}$、$\displaystyle 9\ln2-\frac{37}{6}$ である。