2筑波大学 2017年 数学 第2問解答・解説

(1) $f'(x)=3x^2+2ax+b$ は $x=\pm\beta$ で0となる。したがって $$f'(x)=3(x-\beta)(x+\beta)=3x^2-3\beta^2,$$ 係数を比較して $a=0$、$b=-3\beta^2$ を得る。さらに $$f(1)+f(-1)=2a+2c=0,\qquad f(1)-f(-1)=2+2b=2m$$ より $c=0$、$m=1+b=1-3\beta^2$。一方 $$f(\beta)=\beta^3-3\beta^3=-2\beta^3=-m$$ より $m=2\beta^3$ である。よって $$2\beta^3+3\beta^2-1=(2\beta-1)(\beta+1)^2=0.$$ 条件 $0<\beta<1$ から $\displaystyle \beta=\frac12$、したがって $\displaystyle m=\frac14$。ゆえに $\displaystyle a=0,b=-\frac34,c=0$。

(2) $\displaystyle f(x)=x^3-\frac34x$ とし、$h(x)=f(x)-g(x)$ とおく。両者の $x^3$ の係数は1なので、$h(x)=Ax^2+Bx+C$ と書ける。$f(-1)=-m$、$f(-\beta)=m$、$f(\beta)=-m$、$f(1)=m$ と、$-m\leq g(x)\leq m$ から $$\displaystyle h(-1)\leq0,\qquad h(-\tfrac12)\geq0,\qquad h(\tfrac12)\leq0,\qquad h(1)\geq0.$$ ここで $$\displaystyle h(1)-h(-1)=2B\geq0,\qquad h(-\tfrac12)-h(\tfrac12)=-B\geq0$$ だから $B=0$。すると $h(1)=h(-1)=A+C$ は一方で0以下、他方で0以上なので $A+C=0$。同様に $\displaystyle h(-\tfrac12)=h(\tfrac12)=\frac14A+C$ から $\displaystyle \frac14A+C=0$。これらを引いて $A=0$、さらに $C=0$。したがって $$h(x)\equiv0.$$ （従って $\displaystyle g(x)=f(x)=x^3-\frac34x$。）