I東北医科薬科大学 2020年 数学 第I問解答・解説

$f(x)$ は $(x-1)^2$ で割り切れ、$f'(x)$ は $x+1$ で割り切れる。

(1) $f(-1)=-4, f'(-1)=0$、また $f(1)=f'(1)=0$。係数比較の連立式は $$4-a+b-c+d=-4, \quad-16+3a-2b+c=0, \quad4+a+b+c+d=0, \quad16+3a+2b+c=0$$。これより $a=-1, b=-8, c=3, d=2$。

(2) $f(x)=4(x-1)^2(x^2+ux+v)$ とおく。$f'(-1)=0$ を代入すると $v=2u-3$。従って $$\displaystyle f'(x)=16(x-1)(x+1)(x-r), \quad r=\frac{3(2-u)}{4}, \quad a=4u-8$$。

$r=-1$ または $r=1$ では停留点の一つが重根となり、極小点は1個だけである。

$-1<r<1$ では極小点は $-1,1$。両者の値が等しいには $f(-1)=f(1)=0$ が必要で、$f(-1)=16(u-2)$ より $u=2$。このとき $r=0, a=0$、共通最小値は0。

$r<-1$ では極小点は $r,1$。等値には $f(r)=f(1)=0$ が必要。$r≠1$ かつ $f(r)=f'(r)=0$ なので二次式は重根を持ち、判別式は $(u-2)(u-6)$。条件を満たすのは $u=6, r=-3, a=16$ のみで、共通最小値は0。

$r>1$ では極小点は $-1,r$。$u=2-4r/3$ を用いると $f(-1)=-64r/3$、$f(r)=-4(r-1)^3(r+3)/3$。等値条件は $(r+1)^3(r-3)=0$ となる。よって $r=3, u=-2, a=-16$ で、共通最小値は $f(-1)=-64$。

重解条件とf′の割り切り条件を連立し、係数を決める。二問目は重解(x−1)²をくくり、残りの二次式の係数を一文字で表して、臨界点の位置により二つの極小点を分類する。重なった臨界点r=±1では極小点は一つだけ。残る三つの配置を調べると、得られる(a,共通極小値)は(0,0)、(16,0)、(−16,−64)。