III東北医科薬科大学 2020年 数学 第III問解答・解説

色を赤 $R$、青 $B$、黄 $Y$ と略記し、各行の色を左から順に並べて表す。　 (1) 9マス板は3行3列で、上下左右に隣り合うマスだけが異色であればよい。2色を選ぶと、左上の色を決めた後は隣接条件により市松模様に一意に決まる。したがって選んだ2色に対して2通りあり、色の組は $\displaystyle \binom32=3$ 通りなので、全部で $3\cdot2=6$ 通りである。　 (2) まず回転を同一視する前に、3色全てを用いる塗り方の総数を求める。横1行の並びを、両端の色が同じ型 $ABA$ と、3色が全て異なる型 $ABC$ に分ける。どちらも最初の色は3通り、次は2通りなので各型6通りある。　 1段目が $RBR$ 型のとき、上下の色が異なるように選べる2段目は $$BRB,\quad BRY,\quad BYB,\quad YRB,\quad YRY$$ で、型 $ABA$ が3通り、型 $ABC$ が2通りである。1段目が $RBY$ 型のとき、2段目は $$BRB,\quad BYR,\quad BYB,\quad YRB$$ で、各型2通りずつである。色の名前を入れ替えても数は変わらない。1つの $ABA$ 型の段の下に置ける段は計5通り、$ABC$ 型の段の下に置ける段は計4通りだから、3行全体の適正な塗り方は $$6(3\cdot5+2\cdot4)+6(2\cdot5+2\cdot4)=246$$ 通りである。2色だけを使う適正な塗り方は(1)の6通りなので、3色全てを使うものは $246-6=240$ 通りとなる。　 この240通りのうち回転で変わらないものを調べる。90度回転で変わらない塗り方では、四隅が同色、4辺の中央が同色、中央マスが別の色になる。3色全てを使う条件から3色の置き方は $3\cdot2\cdot1=6$ 通りである。　 180度回転で変わらない塗り方では、対角にある四隅は2組それぞれ同色、上下の辺中央は同色、左右の辺中央も同色、中央マスは1つの色とする。上下の辺中央の色と左右の辺中央の色が同じなら、その共通色の選び方は3通りである。四隅の2組と中央マスの計3か所には残り2色を使い、両方の色が現れるようにする方法は $2^3-2=6$ 通りなので、この場合は $3\cdot6=18$ 通りである。二つの辺中央色が異なる場合はその順序付き選択が $3\cdot2=6$ 通りで、四隅の2組と中央マスは残りの1色に定まるため6通りである。従って180度回転で変わらないものは計24通りであり、そのうち90度回転でも変わらないものが6通りある。　 回転しても変わらない配置がないものは $240-24=216$ 通りで、1つのまとまりに4配置ずつ含まれるので $216/4=54$ 通りのまとまりとなる。180度回転では変わらないが90度回転では変わる配置は $24-6=18$ 通りで、2配置ずつまとまるので9通りである。90度回転でも変わらない6配置はそれぞれ1通りのまとまりである。よって、回転で同一視した場合は $54+9+6=69$ 通りである。　 (3) 行の色を左から順に $R,B,Y$ の4文字で表す。上段には赤がちょうど2個あり、隣接できないから、その位置は $\{1,3\},\{2,4\},\{1,4\}$ のいずれかである。青と黄の交換、および左右反転は、条件を保つ一対一の対応である。したがって上段10通りは $$\begin{array}{c|l|c} \text{代表}&\text{同じ延長数をもつ上段}&\text{上段数}\\\hline \text{RBRB}&\text{RBRB},\text{RYRY},\text{BRBR},\text{YRYR}&4\\ \text{RBRY}&\text{RBRY},\text{RYRB},\text{BRYR},\text{YRBR}&4\\ \text{RBYR}&\text{RBYR},\text{RYBR}&2 \end{array}$$ と分けられる。代表上段を $T=T_1T_2T_3T_4$、中段を $M=M_1M_2M_3M_4$、下段を $L=L_1L_2L_3L_4$ とする。中段の候補は各列で $M_i$ を $T_i$ 以外の2色から選び、$M_i\ne M_{i+1}\ (i=1,2,3)$ を満たすものをすべて取る。具体的な各列の選択肢は $$\begin{array}{c|c} T&(M_1,M_2,M_3,M_4)\text{ の各列の選択肢}\\\hline \text{RBRB}&\{B,Y\}\times\{R,Y\}\times\{B,Y\}\times\{R,Y\}\\ \text{RBRY}&\{B,Y\}\times\{R,Y\}\times\{B,Y\}\times\{R,B\}\\ \text{RBYR}&\{B,Y\}\times\{R,Y\}\times\{R,B\}\times\{B,Y\} \end{array}$$ である。これから横に同色が並ぶものを除くと、中段は順に8、7、5通りとなり、すべて下表に記した。表の第3列は、下段に必要な $(R,B,Y)$ の個数、最終列はその個数を満たし、$L_i\ne M_i$ と $L_i\ne L_{i+1}\ (i=1,2,3)$ も満たす下段の全候補である。 $$\begin{array}{c|c|c|l} \text{上段}&\text{中段}&\text{下段の必要数 }(R,B,Y)&\text{可能な下段}\\\hline \text{RBRB} & \text{BRBR} & (0,0,4) & \text{なし} \\ \text{RBRB} & \text{BRBY} & (1,0,3) & \text{なし} \\ \text{RBRB} & \text{BRYR} & (0,1,3) & \text{なし} \\ \text{RBRB} & \text{BYBR} & (1,0,3) & \text{なし} \\ \text{RBRB} & \text{BYBY} & (2,0,2) & \text{YRYR} \\ \text{RBRB} & \text{YRBR} & (0,1,3) & \text{なし} \\ \text{RBRB} & \text{YRBY} & (1,1,2) & \text{なし} \\ \text{RBRB} & \text{YRYR} & (0,2,2) & \text{BYBY} \\ \text{RBRY} & \text{BRBR} & (0,1,3) & \text{なし} \\ \text{RBRY} & \text{BRYR} & (0,2,2) & \text{なし} \\ \text{RBRY} & \text{BRYB} & (1,1,2) & \text{RYBY},\text{YBRY} \\ \text{RBRY} & \text{BYBR} & (1,1,2) & \text{YRYB},\text{YBRY} \\ \text{RBRY} & \text{YRBR} & (0,2,2) & \text{なし} \\ \text{RBRY} & \text{YRYR} & (0,3,1) & \text{なし} \\ \text{RBRY} & \text{YRYB} & (1,2,1) & \text{BYBR} \\ \text{RBYR} & \text{BRBY} & (1,1,2) & \text{YBYR} \\ \text{RBYR} & \text{BYRB} & (1,1,2) & \text{YRBY},\text{YBYR} \\ \text{RBYR} & \text{BYRY} & (1,2,1) & \text{RBYB} \\ \text{RBYR} & \text{BYBY} & (2,1,1) & \text{RBYR} \\ \text{RBYR} & \text{YRBY} & (1,2,1) & \text{RBYB},\text{BYRB} \\ \end{array}$$ 例えば上段 $\text{RBRY}$、中段 $\text{BRYB}$ なら、下段に必要な個数は $(1,1,2)$ である。この個数と横・縦の隣接条件を満たす下段は $\text{RYBY},\text{YBRY}$ の2通りである。このように、表には完成数0の中段も含めた。各代表の延長数は順に $2,5,7$ 通りだから、求める塗り方は $$4\cdot2+4\cdot5+2\cdot7=42\quad\text{通り}$$ である。従って $\text{ア}=6,\ \text{イ}=6,\ \text{ウ}=9,\ \text{エ}=4,\ \text{オ}=2$ となる。