1金沢大学 2020年 数学 第1問解答・解説

$$\displaystyle \text{全事象は }6^{3}=216\text{ 通り。面積は }\frac{b+c}{2}\text{ なので、(1)は }P(b+c\text{ が偶数})=\frac{18}{36}=\frac12.\\ \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=(a+b)(b+c)>0,\quad \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=-(a-c)(b+c),\quad \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(a+b)(a-c)+1.\\ \text{直角は }a=c\text{ のときだけで、確率は }\frac{36}{216}=\frac16.\\ AB^{2}=(a+b)^2+1,\ AC^{2}=(a-c)^2+1,\ BC^{2}=(b+c)^2.\\ AB=AC\text{ の必要十分条件は }c=2a+b\text{ で、条件を満たす組は6個。}\ AB=BC,\ AC=BC\text{ は平方差1となるため不可能。}\quad P(\text{二等辺})=6/216=\frac1{36}.$$

サイコロの出目$(a,b,c)$は計$6^{3}=216$通りで等確率。三角形の底辺$BC$の長さは$b+c$、高さは1なので面積は$\displaystyle \frac{b+c}{2}$。整数になるのは$b+c$が偶数のときで、$b,c$がともに奇数またはともに偶数となる組は$\displaystyle \frac{18}{36}$、よって確率は$\displaystyle \frac12$。 直角が$B$にあるとき、$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=(a+b)(b+c)>0$なので不可能。$C$で直角となる条件は$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=-(a-c)(b+c)=0$、すなわち$a=c$であり、36通り。$A$で直角なら$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(a+b)(a-c)+1=0$、つまり$(a+b)(a-c)=-1$だが$a+b\ge2$なので不可能。したがって確率は$\displaystyle \frac{36}{216}=\frac16$。 三辺の二乗は$AB^{2}=(a+b)^2+1$、$AC^{2}=(a-c)^2+1$、$BC^{2}=(b+c)^2$。$AB=AC$となるのは$a+b=|a-c|$より$c=2a+b$。条件$1\le a,b,c\le6$を満たすのは$(a,b)=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2)$の6通り。$AB=BC$ または $AC=BC$なら整数の平方の差が1となるが、$(u-v)(u+v)=1$は$u,v$正整数の範囲でここでは成立しない（$BC=b+c\ge2$）。よって二等辺三角形は6通り、確率は$\displaystyle \frac{6}{216}=\frac1{36}$。