2金沢大学 2020年 数学 第2問解答・解説

(1) $k=0$ では $$\displaystyle \alpha=\frac{0}{1}=0,\qquad \beta=\frac{1}{2},\qquad \gamma=\frac{\sqrt3 i}{1+\sqrt3 i}=\frac{3+\sqrt3 i}{4}.$$ 従って $A=(0,0)$、$B=(1/2,0)$、$C=(3/4,\sqrt3/4)$。$\overrightarrow{AB}=(1/2,0)$、$\overrightarrow{AC}=(3/4,\sqrt3/4)$ だから $$\displaystyle \cos\angle BAC =\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|AB||AC|} =\frac{3/8}{(1/2)(\sqrt3/2)} =\frac{\sqrt3}{2}.$$ 三角形の内角なので $\angle BAC=\pi/6$（30°）。

(2) $k=-1$ として $w=(z-1)/(z+1)$。$w=1$ はこの式を満たす有限の $z$ がないので、逆に $$\displaystyle z=\frac{1+w}{1-w}$$ と表せる。条件 $|z|=\sqrt2$ は $$|1+w|^2=2|1-w|^2$$ と同値である。$w=x+yi$ とおくと $$(1+x)^2+y^2=2\{(1-x)^2+y^2\},$$ よって $$x^2+y^2-6x+1=0 \quad\text{すなわち}\quad (x-3)^2+y^2=8.$$ 逆変換もこの円周上の全点に定義され、$|z|=\sqrt2$ を満たす。従って軌跡は中心 $(3,0)$、半径 $2\sqrt2$ の円周である。

(3) $z=ti$（$t\text{は実数}$）とおくと $$\displaystyle w=\frac{k+ti}{1+ti} =\frac{(k+t^2)+(1-k)ti}{1+t^2}.$$ $w=x+yi$ とすれば $$\displaystyle x=\frac{k+t^2}{1+t^2},\qquad y=\frac{(1-k)t}{1+t^2},$$ これを整理すると $$\displaystyle \left(x-\frac{k+1}{2}\right)^2+y^2=\frac{(k-1)^2}{4}.$$ $k\ne1$ なのでFは半径 $|k-1|/2$ の円周から点 $w=1$ を除いたものになる。逆に、この円の式は $x^2+y^2-(k+1)x+k=0$。$w=x+yi\ne1$ に対して $z=(k-w)/(w-1)$ とおくと、$\operatorname{Re}z=((k-x)(x-1)-y^2)/((x-1)^2+y^2)=0$ となるため、円周上の1以外の点はすべて像に含まれる。 Fが半径 $1/2$ の円周に含まれるなら、Fは無限個の点を含むから、その円周は上の円周と一致する（異なる二円周の共有点は高々二点）。従って $$\displaystyle \frac{|k-1|}{2}=\frac12 \quad\text{すなわち}\quad |k-1|=1,$$ ゆえに $k=0,2$。どちらも条件 $k\ne1$ を満たす。