2宮崎大学 2020年 数学 第2問解答・解説

$\alpha=s+ti$、$P=1$ とする。

(1) 原点を中心とする $\pi/2$ の回転は複素数に $i$ を掛けることに当たるので $$\beta=i\alpha.$$ 次に、点 $P=1$ を中心とした $-\pi/2$ の回転では、ベクトル $\beta-1$ に $-i$ を掛ける。したがって $$\gamma=1-i(\beta-1)=1+i-i\beta=\alpha+1+i.$$ よって $\boxed{\beta=i\alpha,\quad \gamma=\alpha+1+i}$。

(2) 点の座標は $P=(1,0)$、$A=(s,t)$、$C=(s+1,t+1)$ である。$P,A,C$ が一直線上にある条件は、$\overrightarrow{PA}=(s-1,t)$ と $\overrightarrow{PC}=(s,t+1)$ が平行となることだから $$(s-1)(t+1)-st=0.$$ これを整理すると $t=s-1$。もともと $t>0$ なので $s>1$ であり、 $$\boxed{\alpha=s+(s-1)i\quad(s>1)}.$$

(3) $t=s-1$ を代入すると $$A=(s,s-1),\qquad B=(1-s,s),\qquad C=(s+1,s).$$ $B,C$ は同じ高さにあり、その中点の $x$ 座標は $1$ である。したがって、外心は線分 $BC$ の垂直二等分線 $x=1$ 上にある。外心を $W=(1,u)$ とおき、$WA=WB$ を使うと $$(s-1)^2+(u-s+1)^2=s^2+(u-s)^2,$$ ゆえに $u=2s-1$。また $A$ は $BC$ 上にないので三角形 $ACB$ は非退化であり、この外心は一意である。複素数表示に戻して $$\boxed{w=1+(2s-1)i\quad(s>1)}.$$