1宮崎大学 2020年 数学 第1問解答・解説

鋭角三角形なので $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$ である。$c=\cos\theta$ とおく。$\vec b$ は長さ1であり、$\vec a\cdot\vec b=x\cos\theta=xc$ だから、$E$ は$A$から直線$OB$へ正射影した点として$$\overrightarrow{OE}=(\vec a\cdot\vec b)\vec b=xc\vec b$$ と表せる。

角の二等分線の性質より$AD:DB=OA:OB=x:1$ である。したがって内分点の公式から$$\displaystyle \overrightarrow{OD}=\frac{\vec a+x\vec b}{x+1}.$$ よって$H$が直線$OD$上にあることは、$\overrightarrow{OH}=s\vec a+t\vec b$ の係数が$t=xs$を満たすことと同値である。

また、$H$を$AE$上の点として$\overrightarrow{AH}=u\overrightarrow{AE}$とおくと、$$\overrightarrow{OH}=\vec a+u(\overrightarrow{OE}-\vec a)=(1-u)\vec a+uxc\vec b.$$ したがって$s=1-u,\ t=uxc$ であり、$AE$上では$t=xc(1-s)$となる。これと$t=xs$を連立し、$x>0$より$$\displaystyle s=c(1-s),\qquad s=\frac{c}{1+c},\qquad t=xs=\frac{xc}{1+c}.$$

このとき$\displaystyle u=1-s=\frac{1}{1+c}$は$0<u<1$である。また、$B$の角も鋭角なので$(\overrightarrow{BA})\cdot(\overrightarrow{BO})=(\vec a-\vec b)\cdot(-\vec b)=1-xc>0$、すなわち$xc<1$。したがって$H=\lambda D$における$\displaystyle \lambda=(x+1)s=\frac{(x+1)c}{1+c}$も$0<\lambda<1$であり、求めた点は線分$AE$、$OD$の双方に含まれる。

最後に$t/s=x$で$OD$上の条件を満たし、$\displaystyle s+\frac{t}{xc}=\frac{c}{1+c}+\frac{1}{1+c}=1$で$AE$上の条件も満たす。よって$$\displaystyle s=\frac{\cos\theta}{1+\cos\theta},\qquad t=\frac{x\cos\theta}{1+\cos\theta}.$$