7千葉大学 2020年 数学 第7問解答・解説

$C_1:y=x^2$ 上の点 $(t,t^2)$ における接線は $y=2tx-t^2$ である。傾きを $m=2t$ とおくと、$C_1$ の接線は $\displaystyle y=mx-\frac{m^2}{4}$ と表される。

次に $\displaystyle C_2:x=\frac{1}{2a}y^2+\frac{3a}{4}$ を $\displaystyle (x,y)=(\frac{s^2}{2a}+\frac{3a}{4},s)$ と媒介変数表示する。$s\ne0$ のとき接線の傾きは $dy/dx=a/s$ だから、その接線は $\displaystyle y=\frac{a}{s}x+\frac{s}{2}-\frac{3a^2}{4s}$ である。$m=a/s$ とおいて $C_1$ の接線と一致させると、$\displaystyle \frac{a}{2m}-\frac{3am}{4}=-\frac{m^2}{4}$、すなわち $P(m)=m^3-3am^2+2a=0$ を得る。$a\ne0$ よりこの方程式の解は $m\ne0$ であり、各実根は $s=a/m$ によって $C_2$ の接点と一意に対応する。$s=0$ における $C_2$ の接線は垂直線 $x=3a/4$ であり、$C_1$ の接線にはならない。

$P$ は $P'(m)=3m(m-2a)$ より $m=0,2a$ で極値をとる。$a\ne0$ なのでこの2点は異なり、$P(0)=2a$、$P(2a)=2a(1-2a^2)$ である。三次関数 $P$ が相異なる実根を3つもつのは、2つの極値の値が異符号のとき、かつそのときに限る。したがって $P(0)P(2a)=4a^2(1-2a^2)<0$、すなわち $\displaystyle a^2>\frac12$ が必要十分である。このとき傾きの異なる接線が3本あり、求める範囲は $\displaystyle a< -\frac1{\sqrt2}$ または $\displaystyle a>\frac1{\sqrt2}$ である。