6千葉大学 2020年 数学 第6問解答・解説

各カードの3で割った余りは、$0$ が1枚、$1,2$ が各2枚なので確率は $1/5,2/5,2/5$。非零の累積和の剰余が1,2にある確率を、それまで累積和が0になっていない条件とともに $x_n,y_n$ とする。$x_1=y_1=2/5$ で、遷移から $$\displaystyle x_{n+1}=\frac15x_n+\frac25y_n,\qquad y_{n+1}=\frac25x_n+\frac15y_n.$$ 対称性により $x_n=y_n=(2/5)(3/5)^{n-1}$。非零剰余1または2から次に0となる確率はともに $2/5$ なので $$\displaystyle p_n=\frac25(x_{n-1}+y_{n-1})=\frac8{25}\left(\frac35\right)^{n-2}\quad(n\ge2).$$ したがって $p_2=8/25,\ p_3=24/125$。

(3)の条件で $a_3\equiv2\pmod3$。$S_2\not\equiv0$ かつ $S_3=S_2+a_3\not\equiv0$ より $S_2\equiv2$、従って $S_3\equiv1$。4回目以降は独立な同じ試行であり、どちらの非零剰余からも次に0となる確率は $2/5$、非零のまま残る確率は $3/5$。よって$n-4$回非零を維持して次で0となる条件付き確率は $$\displaystyle q_n=\frac25\left(\frac35\right)^{n-4}\quad(n\ge4).$$

カードの剰余分布は$\displaystyle 0: \frac15,\quad 1: \frac25,\quad 2: \frac25$。初めて3の倍数となる時刻nの確率は$\displaystyle p_2=\frac{8}{25},\quad p_3=\frac{24}{125},\quad p_n=\frac{8}{25}\left(\frac35\right)^{n-2}$。条件S1,S2,S3非零かつa3=5ではS3≡1で、$\displaystyle q_n=\frac25\left(\frac35\right)^{n-4}\quad(n\ge4)$。