2藤田医科大学 2020年 数学 第2問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) 2回後も外の白玉が3個ということは、一度も白を引いていないこと、すなわち2回とも赤を引くことである。1回目に赤を引く確率は }2/5\text{。赤を1個補充した後は袋の中が赤3個、白3個だから、2回目も赤となる確率は }3/6\text{。従って確率は }(2/5)(3/6)=1/5.\quad \text{(2) 2回の色の並びと確率、2回後の袋の中の白玉数を整理する。}RR\text{ の確率は }(2/5)(3/6)=1/5\text{ で、白玉は3個。}RW\text{ と }WR\text{ は各 }1/5\text{ で、白玉は4個。}WW\text{ の確率は }(3/5)(4/6)=2/5\text{ で、白玉は5個。2回後は袋の中の玉が7個なので、次に白を引く確率はそれぞれ }3/7,4/7,5/7\text{。従って}\;\frac15\frac37+\frac25\frac47+\frac25\frac57=\frac35.\quad \text{(3) 外に残る赤白の個数を }(r,w)\text{ とする。}r,w>0\text{ のとき袋の中には赤 }4-r\text{ 個、白 }6-w\text{ 個がある。赤が先になくなる確率を }P(r,w)\text{ とすれば、}\;P(0,w)=1,\quad P(r,0)=0,\quad P(r,w)=\frac{4-r}{10-r-w}P(r-1,w)+\frac{6-w}{10-r-w}P(r,w-1).\text{ 順に計算すると}\;P(1,1)=3/8,\ P(1,2)=9/14,\ P(1,3)=23/28,\ P(2,1)=3/28,\ P(2,2)=2/7\text{。よって初期状態では}\;P(2,3)=\frac25\frac{23}{28}+\frac35\frac27=\frac12.$$