6東北大学 2019年 数学 第6問解答・解説

赤玉を$k$個取り出した時点では，袋には赤玉が$5-k$個，白玉が$5+k$個ある。したがって，その次に白玉を取り出す確率は$\displaystyle \frac{5+k}{10}$，赤玉を取り出す確率は$\displaystyle \frac{5-k}{10}$である。

(1) $n$回までに赤玉を2個取り出している場合，次に白玉を取り出せば赤玉の個数は2個のままであり，その確率は$\displaystyle \frac7{10}$である。また，n回までに赤玉を1個取り出している場合，次に赤玉を取り出す確率は$\displaystyle \frac4{10}$である。この二つの場合は排反であるから， $$\displaystyle p(n+1,2)=\frac7{10}p(n,2)+\frac4{10}p(n,1).$$

(2) 赤玉をまだ取り出していない確率は，各回で白玉を引く確率が1/2であることから，$\displaystyle p(n,0)=\left(\frac12\right)^n$である。よって， $$\displaystyle p(n+1,1)=\frac35p(n,1)+\frac12p(n,0)=\frac35p(n,1)+\frac12\left(\frac12\right)^n,\qquad p(0,1)=0.$$ これを順にたどると $$\displaystyle p(n,1)=\sum\limits _{j=0}^{n-1}\left(\frac35\right)^{n-1-j}\left(\frac12\right)^{j+1}=\frac12\frac{(3/5)^n-(1/2)^n}{3/5-1/2}=5\left\{\left(\frac35\right)^n-\left(\frac12\right)^n\right\}.$$

(3) (1)の漸化式に(2)の結果を代入し，初期値$p(0,2)=0$を用いて繰り返すと， $$\displaystyle \begin{aligned}p(n,2)&=\frac25\sum\limits _{j=0}^{n-1}\left(\frac7{10}\right)^{n-1-j}p(j,1)\\&=2\sum\limits _{j=0}^{n-1}\left(\frac7{10}\right)^{n-1-j}\left\{\left(\frac35\right)^j-\left(\frac12\right)^j\right\}.\end{aligned}$$ ここで等比数列の和より， $$\displaystyle \sum\limits _{j=0}^{n-1}a^{n-1-j}b^j=\frac{a^n-b^n}{a-b}\quad(a\ne b)$$ であるから， $$\displaystyle \begin{aligned}p(n,2)&=2\left[10\left\{\left(\frac7{10}\right)^n-\left(\frac35\right)^n\right\}-5\left\{\left(\frac7{10}\right)^n-\left(\frac12\right)^n\right\}\right]\\&=10\left\{\left(\frac7{10}\right)^n-2\left(\frac35\right)^n+\left(\frac12\right)^n\right\}.\end{aligned}$$