2東北大学 2019年 数学 第2問解答・解説

定義域は $x-n>0$ かつ $2n-x>0$ なので $n<x<2n$ である。整数 $x$ に対し $k=x-n$ とおくと、$k$ は整数で $1\leq k\leq n-1$、また $x-n=k$、$2n-x=n-k$ となる。不等式は $$\displaystyle \log_a k>\frac12\log_a(n-k)=\log_a\sqrt{n-k}$$ と書ける。$k,n-k>0$ なので、対数関数の増減から $$\begin{cases}k^2>n-k\quad\text{すなわち}\quad n<k(k+1),&a>1,\\k^2<n-k\quad\text{すなわち}\quad n>k(k+1),&0<a<1.\end{cases}$$

・ $n=6$ のとき $1\leq k\leq5$ であり、$k(k+1)$ は順に $2,6,12,20,30$ である。$a>1$ なら $6<k(k+1)$ より $k=3,4,5$、したがって $x=9,10,11$。$0<a<1$ なら $6>k(k+1)$ より $k=1$ のみで、$x=7$。

・ $a>1$ の場合、$n=1$ では許される $k$ がなく、$n=2$ では $k=1$ だけだが $n<k(k+1)$ を満たさない。$n\geq3$ なら $k=n-1$ を選べば $1\leq k\leq n-1$ かつ $k(k+1)=n(n-1)>n$ となる。よってこの場合は $n\geq3$ が必要十分である。

$0<a<1$ の場合、$n=1$ では許される $k$ がなく、$n=2$ では唯一の $k=1$ が $n>k(k+1)$ を満たさない。$n\geq3$ なら $k=1$ を選べば $1\leq k\leq n-1$ かつ $n>2=k(k+1)$ となる。こちらも必要十分条件は $n\geq3$ である。以上より、$a$ の範囲によらず条件は $n\geq3$ である。