5東北大学 2019年 数学 第5問解答・解説

(1)

$s(x)=\sin^2(\pi x)$ と $\displaystyle g(x)=\dfrac{1}{1+e^x}$ とおく。$s$ は偶関数であり、 $$\displaystyle g(x)+g(-x)=\frac{1}{1+e^x}+\frac{1}{1+e^{-x}}=1$$ だから、積分範囲を $-1\le x\le0$ と $0\le x\le1$ に分け、前半で $x$ を $-x$ に置き換えると $$\displaystyle \int_{-1}^{1}s(x)g(x)\,dx =\int_0^1 s(x)\{g(x)+g(-x)\}\,dx =\int_0^1\sin^2(\pi x)\,dx.$$ 倍角公式より $$\displaystyle \int_0^1\sin^2(\pi x)\,dx =\int_0^1\frac{1-\cos(2\pi x)}{2}\,dx =\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin(2\pi x)}{4\pi}\right]_0^1 =\frac12.$$ よって (1) の等式が成り立つ。

(2)

$$\displaystyle P=\int_{-1}^{1}f(t)\,dt,\qquad Q=\int_{-1}^{1}e^t f(t)\,dt$$ とおく。積分項は $e^xP-Q+P=(1+e^x)P-Q$ なので、与式は $$\displaystyle f(x)=P+\frac{\sin^2(\pi x)-Q}{1+e^x} \tag{1}$$ と同値である。(1) から $$\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{dx}{1+e^x}=1,\qquad \int_{-1}^{1}\frac{e^x\,dx}{1+e^x}=1,$$ また (1) の結果と $\displaystyle \int_{-1}^{1}\sin^2(\pi x)\,dx=1$ から $$\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{\sin^2(\pi x)}{1+e^x}\,dx=\frac12,\qquad \int_{-1}^{1}\frac{e^x\sin^2(\pi x)}{1+e^x}\,dx=\frac12.$$ ここで $\displaystyle d=\int_{-1}^{1}e^x\,dx=e-e^{-1}$ とする。(1) を積分し、さらに $e^x$ を掛けて積分すると $$\displaystyle P=2P+\frac12-Q,\qquad Q=Pd+\frac12-Q.$$ 従って $\displaystyle Q=P+\frac12$ かつ $\displaystyle P(d-2)=\frac12$ である。さらに $$\displaystyle d-2=\int_0^1(e^x+e^{-x}-2)\,dx =\int_0^1\left(e^{x/2}-e^{-x/2}\right)^2\,dx>0,$$ だから $$\displaystyle P=\frac{1}{2(e-e^{-1}-2)},\qquad Q=P+\frac12.$$ これを (1) に戻すと $$\displaystyle \boxed{f(x)=\frac{\sin^2(\pi x)-\frac12+\dfrac{e^x}{2(e-e^{-1}-2)}}{1+e^x}}.$$ この式から $$\displaystyle \int_{-1}^{1}f(t)\,dt=2P+\frac12-Q=P,\qquad \int_{-1}^{1}e^t f(t)\,dt=Pd+\frac12-Q=Q.$$ 従って右辺を展開すると $$\displaystyle \sin^2(\pi x)+(1+e^x)P-Q =\sin^2(\pi x)-\frac12+e^xP =(1+e^x)f(x),$$ よって求めた関数は元の等式を満たす。どの解についても $P,Q$ は上の連立方程式に従い、$d-2>0$ だから一意に定まる。このため (1) から $f(x)$ も一意である。