1大阪大学 2011年 数学 第1問解答・解説

(1) 行列の各成分を比較すると $$r\cos\theta=a,\qquad r\sin\theta=1.$$ 従って $$r^2=(r\cos\theta)^2+(r\sin\theta)^2=a^2+1.$$ $r>0$ より $$\displaystyle r=\sqrt{a^2+1},\qquad \cos\theta=\frac{a}{\sqrt{a^2+1}},\qquad \sin\theta=\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}.$$

(2) 行列は倍率 $r$ の拡大と原点中心の回転の合成なので、長さを $r$ 倍、面積を $r^2$ 倍する。$f$ は $\triangle OQ_{n-1}Q_n$ を $\triangle OQ_nQ_{n+1}$ に移すから $$S(n)=r^2S(n-1)\qquad(n\ge2).$$ $Q_1=(1,0)$, $Q_2=(a,1)$ より $\displaystyle S(1)=\frac12$。よって $$\displaystyle S(n)=\frac12(r^2)^{n-1}=\frac12(a^2+1)^{n-1}.$$

(3) $P=(x,y)$ とおくと $f(P)=(2,7)$ より $$ax-y=2,\qquad x+ay=7.$$ これを解くと $$\displaystyle x=\frac{2a+7}{a^2+1},\qquad y=\frac{7a-2}{a^2+1}.$$ 小数第一位を四捨五入して2となるには $\displaystyle \frac32\le x<\frac52$ が必要である。$a=1$ では $\displaystyle x=\frac92$、$a=2$ では $\displaystyle x=\frac{11}{5}$ となる。$a\ge3$ のとき $$\displaystyle x<\frac32\quad\text{すなわち}\quad 3a^2-4a-11>0.$$ この左辺は $a=3$ で4であり、$a$ を $a+1$ にすると $6a-1>0$ だけ増える。従って全ての整数 $a\ge3$ で $\displaystyle x<\frac32$。ゆえに $a=2$。このとき $\displaystyle S(n)=\frac12 5^{n-1}$。

$L=\log_{10}2$, $m=n-1$ とおくと $$S(n)>10^{10}\quad\text{すなわち}\quad m(1-L)>10+L.$$ $0.3<L<0.31$ より、$m=14$ なら左辺は $9.8$ 未満、右辺は $10.3$ より大きく不成立。一方、$m=15$ なら左辺は $10.35$ より大きく、右辺は $10.31$ 未満なので成立する。$5^m$ は増加するから最小の $m$ は15、従って最小の $n$ は16。

行列成分から変換の回転倍率を求め、面積倍率を用いてS(n)の漸化式を解く。像が指定点となる条件から一次方程式を解き、四捨五入範囲と常用対数の上下界で自然数aと最小nを定める。