5大阪大学 2011年 数学 第5問解答・解説

各回のコイン投げは独立な公平試行とする。$r_n$ の期待値は $$\displaystyle q=\mathbb E[r_n]=\frac12\cdot\frac r2+\frac12\cdot\frac1{2r}=\frac{r+1/r}{4}。$$ $r_n$ はそれ以前の投げ方から決まる $a_n-a_{n-1}$ と独立だから、漸化式の期待値を取ると $$p_{n+1}-p_n=q(p_n-p_{n-1})。$$ $p_1=0,p_2=r$ より初期差は $p_2-p_1=r$。

(1) $p_3-p_2=qr$、$p_4-p_3=q^2r$ なので $$\displaystyle p_3=r(1+q)=r+\frac{r^2+1}{4},\qquad p_4=r(1+q+q^2)。$$

(2) 差分を続けると $p_n-p_{n-1}=rq^{n-2}$。したがって $$\displaystyle p_n=r\sum\limits _{j=0}^{n-2}q^j=\begin{cases}r(n-1)&(q=1),\\[2pt]r\dfrac{1-q^{n-1}}{1-q}&(q\ne1),\end{cases}\qquad n\ge3。$$

(3) $q>0$ なのでこの部分和が収束するのは $q<1$ のときに限る。$r>0$ に注意して $$\displaystyle q<1\text{、すなわち } r+\frac1r<4\text{、すなわち } r^2-4r+1<0\text{、すなわち } 2-\sqrt3<r<2+\sqrt3。$$

(4) この範囲では $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}p_n=\frac r{1-q}=\frac{4r^2}{4r-r^2-1}。$$ $D=4r-r^2-1>0$ とおくと $$\displaystyle \frac{4r^2}{D}-\frac43=\frac{4(2r-1)^2}{3D}\ge0。$$ 等号は $r=1/2$ で成立し、この値は(3)の範囲に含まれる。従って最小値は $4/3$。

答え

(1) $p_3=r(1+q)=r+(r^2+1)/4,\quad p_4=r(1+q+q^2)$（$q=(r+1/r)/4$）。 (2) $q=1$ なら $p_n=r(n-1)$、それ以外は $p_n=r(1-q^{n-1})/(1-q)$。 (3) $2-\sqrt3<r<2+\sqrt3$。 (4) 最小値 $4/3$（$r=1/2$）。