4大阪大学 2011年 数学 第4問解答・解説

(1) $x\ge1$ より $|q|\le |q|x$ である。三角不等式を使うと $$|px+q|\le |p|x+|q|\le (|p|+|q|)x.$$ したがって $r=|p|+|q|$ とすればよい。

(2) $\displaystyle k=\frac a3$ とおく。このとき $$(x+k)^3=x^3+ax^2+3k^2x+k^3$$ なので、$p=b-3k^2$、$q=c-k^3$ とすれば $$f(x)-(x+k)^3=px+q.$$ (1)をこの $p,q$ に適用し、$r=|p|+|q|$ とおけば、$x\ge1$ で $|px+q|\le rx$ である。

ここで $\alpha=\sqrt[3]{f(x)}$、$\beta=x+k$ とする。$a,b,c>0$、$x\ge1$ より $\alpha>0$、$\beta\ge x>0$ である。与えられた立方差の恒等式を使うと $$|\alpha-\beta|(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2) =|\alpha^3-\beta^3| =|px+q| \le rx.$$ また $\alpha,\beta>0$ なので $\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2\ge\beta^2\ge x^2$。よって $$\displaystyle \left|\sqrt[3]{f(x)}-x-k\right| =|\alpha-\beta| \le\frac{rx}{x^2} =\frac r x.$$ したがって $l=r$ とすればよい。

(3) $t_n=\sqrt[3]{f(n)}$、$u_n=t_n-n$ とおく。仮定より $u_n$ は整数であり、(2)から $$\displaystyle |u_n-k|\le\frac l n,\qquad k=\frac a3>0.$$ 十分大きな $N$ を取り、$n\ge N$ ならば $l/n<1/2$ とする。このとき全ての $n\ge N$ で整数 $u_n$ は $\displaystyle k-\frac12<u_n<k+\frac12$ を満たす。この範囲にある整数は高々一つだから、ある整数 $m$ が存在して $$u_n=m,\qquad t_n=n+m\qquad(n\ge N).$$ さらに $|m-k|\le l/n$ が任意に大きい $n$ で成り立つので $m=k=a/3$。特に $m$ は正の整数である。したがって $$f(n)=(n+m)^3\qquad(n\ge N).$$ $a=3m+A$、$b=3m^2+B$、$c=m^3+C$ とおけば $$f(n)-(n+m)^3=An^2+Bn+C=0\qquad(n\ge N).$$ この式を $n+1$ の場合と $n$ の場合で引くと $A(2n+1)+B=0$。さらに $n+1$ の式から $n$ の式を引けば $2A=0$ だから $A=0$、続いて $B=C=0$。よって $a=3m$、$b=3m^2$、$c=m^3$ であり、 $$\boxed{f(x)=x^3+3mx^2+3m^2x+m^3=(x+m)^3}.$$

$k=a/3$ として $f(x)-(x+k)^3$ の二次項を消し、立方差の恒等式から立方根の誤差を $1/x$ で抑える。その誤差が整数列 $\sqrt[3]{f(n)}-n$ を十分大きいところで一定にし、無限個の整数での一致から多項式を特定する。