大阪大学 2011年数学第2問解答・解説

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1問題

大阪大学2011年度第2問

実数 $\theta$ が動くとき， $xy$ 平面上の動点 $P(0,\sin\theta)$ および $Q(8\cos\theta,0)$ を考える。 $\theta$ が $\displaystyle 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$ の範囲を動くとき，平面内で線分 $PQ$ が通過する部分を $D$ とする。 $D$ を $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積 $V$ を求めよ。

(配点率20%)

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

回転体積 $\quad V=128\pi/105\quad$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$u=x/8$ とし、固定した $0<x<8$ で線分上の点を $(x,y)=(8\lambda\cos\theta,(1-\lambda)\sin\theta)$ と表す。 $\lambda=u/\cos\theta$ なので $0\le\theta\le\arccos u$ 、高さは $y=\sin\theta-u\tan\theta$ 。その導関数の符号は $\cos^3\theta-u$ の符号で、最大は $\cos\theta=u^{1/3}$ に達し、 $f(x)=(1-(x/8)^{2/3})^{3/2}$ 。端点も直接確認できる。 $\displaystyle V=\pi\int_0^8f(x)^2dx=24\pi\int_0^1t^2(1-t^2)^3dt=\frac{128\pi}{105}\quad(x=8t^3).$

この問題で使う考え方

媒介変数による最大化
円板法
置換積分

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