4岡山大学 2006年 数学 第4問解答・解説

(1) 円 $C_1$ の点 $(\cos t,\sin t)$ における接線は、半径と接線が垂直であることから $$x\cos t+y\sin t=1$$ である。したがって二接線の交点 $R(\alpha,\beta)$ は $$\alpha\cos\theta+\beta\sin\theta=1,\qquad \alpha\cos3\theta+\beta\sin3\theta=1$$ を満たす。この連立方程式について $$\cos\theta\sin3\theta-\sin\theta\cos3\theta=\sin2\theta>0$$ である。したがって、消去法で解くと $$\displaystyle \alpha=\frac{\sin3\theta-\sin\theta}{\sin2\theta} =\frac{2\cos2\theta\sin\theta}{2\sin\theta\cos\theta} =\frac{\cos2\theta}{\cos\theta},\qquad \beta=\frac{\cos\theta-\cos3\theta}{\sin2\theta}=2\sin\theta.$$

(2) $\theta=\pi/6$ のとき $R=(1/\sqrt3,1)$、$\theta=\pi/4$ のとき $R=(0,\sqrt2)$ である。また $\beta=2\sin\theta$ はこの区間で増加する。よって、求める領域を水平に切ると、$0\le y\le1$ では右端が直線 $x=y/\sqrt3$、$1\le y\le\sqrt2$ では右端が曲線 $C_2$ となる。面積を $S$ とすると、曲線上で $y=\beta(\theta)$、$dy/d\theta=2\cos\theta$ であるから $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_0^1\frac{y}{\sqrt3}\,dy+\int_{\pi/6}^{\pi/4}\alpha(\theta)\frac{d\beta}{d\theta}\,d\theta\\ &=\frac{1}{2\sqrt3}+\int_{\pi/6}^{\pi/4}\frac{\cos2\theta}{\cos\theta}\,2\cos\theta\,d\theta\\ &=\frac{1}{2\sqrt3}+\left[\sin2\theta\right]_{\pi/6}^{\pi/4} =\frac{\sqrt3}{6}+1-\frac{\sqrt3}{2} =1-\frac{\sqrt3}{3}. \end{aligned}$$