5北海道大学 2023年 数学 第5問解答・解説

解答

(1) $a^2+b^2<1$ かつ $a,b>0$ より $a,b<1$。$f$ は連続で $$\displaystyle f(0)=b(a-1)<0,\qquad f\left(\frac\pi2\right)=a(1-b)>0.$$ 従って中間値の定理から、$0<\theta<\pi/2$ に少なくとも1つ零点がある。

(2) $P=(\cos\theta,\sin\theta)$ における円の接線は $$x\cos\theta+y\sin\theta=1.$$ その単位法線は $(\cos\theta,\sin\theta)$ であり、$B=(0,b)$ から接線までの符号付き距離は $1-b\sin\theta$。したがって接線に関する反射点は $$D=B+2(1-b\sin\theta)(\cos\theta,\sin\theta),$$ すなわち $$\boxed{D=(2\cos\theta-b\sin2\theta,\ 2\sin\theta+b\cos2\theta)}.$$

(3) 3点が同一直線上にある条件を、ベクトル $\overrightarrow{AP}$ と $\overrightarrow{AD}$ の成分で表すと $$(\cos\theta-a)D_y-\sin\theta(D_x-a)=0.$$ $D$ を代入して整理すれば、左辺は $$(\cos\theta-a)(2\sin\theta+b\cos2\theta) -\sin\theta(2\cos\theta-b\sin2\theta-a) =-f(\theta),$$ ここで $\cos\theta\cos2\theta+\sin\theta\sin2\theta=\cos\theta$ を用いた。よって共線条件は $f(\theta)=0$ と同値であり、(1)より解が少なくとも1つある。

さらに $$f'(\theta)=a\cos\theta+b\sin\theta-4ab\sin\theta\cos\theta.$$ $q=ab\sin\theta\cos\theta$ とおくと、$2ab\le a^2+b^2<1$ と $2\sin\theta\cos\theta\le1$ から $0<q<1/4$。相加平均・相乗平均より $$a\cos\theta+b\sin\theta\ge2\sqrt q>4q,$$ ゆえに $f'(\theta)>0$。従って $f$ は増加し、異なる $\theta$ に対して同じ値をとらないので、零点は高々1つ。存在と合わせて、共線となる $\theta$ はただ1つ。