2佐賀大学 2018年 数学 第2問解答・解説

(1)　 与式で $x=y=0$ とおくと $$f(0)=f(0)\cos 0+f(0)\cos 0=2f(0)$$ となるから，$f(0)=2f(0)$，すなわち $$f(0)=0.$$

(2)　 $a$ を任意の実数とし，$h\neq0$ に対して差分商を考える。与式で $x=a,\ y=h$ とおくと $$f(a+h)=f(a)\cos h+f(h)\cos a$$ であるから $$f(a+h)-f(a)=f(a)(\cos h-1)+f(h)\cos a.$$ よって $h\neq0$ に対して $$\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f(a)\cdot\frac{\cos h-1}{h}+\cos a\cdot\frac{f(h)}{h}\qquad(\ast)$$ が成り立つ。右辺の各項の $h\to0$ での極限を調べる。

(i) 倍角の公式 $\displaystyle \cos h=1-2\sin^{2}\dfrac{h}{2}$ より $\displaystyle \cos h-1=-2\sin^{2}\dfrac{h}{2}$ であるから $$\displaystyle \frac{\cos h-1}{h}=\frac{-2\sin^{2}\frac{h}{2}}{h}=-\sin\frac{h}{2}\cdot\frac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}.$$ $h\to0$ のとき $\displaystyle \sin\dfrac{h}{2}\to0$，かつ $\displaystyle \dfrac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\to1$（三角関数の基本極限）であるから，積として $$\displaystyle \lim\limits _{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0.$$

(ii) (1) より $f(0)=0$ であり，仮定により $f(x)$ は $x=0$ で微分可能であるから $$\displaystyle \lim\limits _{h\to0}\frac{f(h)}{h}=\lim\limits _{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=f'(0)$$ が有限な実数として存在する。

(i)，(ii) を $(\ast)$ に代入する。$\cos a$ は $h$ に無関係な定数であるから $$\displaystyle \lim\limits _{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f(a)\cdot 0+\cos a\cdot f'(0)=f'(0)\cos a$$ という有限の極限値が存在する。これは任意の実数 $a$ について成り立つから，$f(x)$ は任意の実数 $x=a$ で微分可能であり，かつ $$f'(a)=f'(0)\cos a\qquad(\text{任意の実数 }a)$$ が成り立つ。（証明終）

(3)　 仮定 $f'(0)=3$ と (2) の結果 $f'(a)=f'(0)\cos a$ より，任意の実数 $x$ に対して $$f'(x)=3\cos x$$ である。

次に $f(x)$ を求める。$g(x)=f(x)-3\sin x$ とおく。$3\sin x$ の導関数は $3\cos x$ であるから $$g'(x)=f'(x)-3\cos x=0\qquad(\text{すべての実数 }x)$$ である。導関数が恒等的に $0$ である関数は（増加も減少もしないから）定数関数であるので，ある定数 $C$ を用いて $$g(x)=C,\quad\text{すなわち}\quad f(x)=3\sin x+C$$ と書ける。(1) より $f(0)=0$ であり，$3\sin 0+C=C$ であるから $C=0$。したがって $$f(x)=3\sin x\qquad(\text{すべての実数 }x)$$ である。

検算　 $f(x)=3\sin x$ が与えられた条件をすべて満たすことを確認する。加法定理 $\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$ より，任意の実数 $x,y$ に対して $$f(x)\cos y+f(y)\cos x=3\sin x\cos y+3\sin y\cos x=3\sin(x+y)=f(x+y)$$ となり，関数方程式を満たす。また $f'(x)=3\cos x$ より $f'(0)=3\cos 0=3$ で仮定と一致し，$f(0)=3\sin0=0$ は (1) の結果とも一致する。さらに $f(x)=3\sin x$ は実数全体で微分可能な関数であるから (2) の主張（任意の $a$ で微分可能）とも矛盾しない。よって (1)–(3) の結果は互いに整合しており，元の条件をすべて満たすことが確認できた。