1京都大学 2016年 数学 第1問解答・解説

(1) $\displaystyle 0<\theta\le\frac{\pi}{2}$ では $f_n(\theta)>0$ なので $$g_n(\theta)=\log f_n(\theta) =\log(1+\cos\theta)+(n-1)\log\sin\theta$$ とおく。微分すると $$\displaystyle g_n'(\theta) =-\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} +(n-1)\frac{\cos\theta}{\sin\theta} =\frac{n\cos\theta-1}{\sin\theta}.$$ したがって $g_n$ は $\cos\theta>1/n$ の範囲で増加し、$\cos\theta<1/n$ の範囲で減少する。よって唯一の最大点は $$\displaystyle \theta=\arccos\frac1n$$ である。$\theta=0$ では $f_n(0)=0$、また右端では $\displaystyle f_n\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$ であり、内部の最大点は右端より大きい。したがって $$\displaystyle M_n=\left(1+\frac1n\right) \left(1-\frac1{n^2}\right)^{\frac{n-1}{2}} =\frac{n+1}{n}\left(1-\frac1{n^2}\right)^{\frac{n-1}{2}}.$$

(2) 対数を取ると $$\displaystyle \log (M_n)^n =n\log\left(1+\frac1n\right) +\frac{n(n-1)}2\log\left(1-\frac1{n^2}\right).$$ 基本極限 $\displaystyle \lim\limits _{x\to0}\frac{\log(1+x)}x=1$ および $\displaystyle \lim\limits _{x\to0}\frac{\log(1-x)}x=-1$ より、第1項は 1 に、第2項は $$\displaystyle \frac{n-1}{2n} \left[n^2\log\left(1-\frac1{n^2}\right)\right] \longrightarrow -\frac12$$ に収束する。したがって $\displaystyle \log (M_n)^n\to\frac12$ であり、 $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}(M_n)^n=e^{1/2}=\sqrt e.$$