3京都大学 2016年 数学 第3問解答・解説

原文・対象 固定PDF p.2の大問3。四面体OABCについて、頂点A,B,Cから各対面を含む平面へ下ろした垂線がその対面の外心を通るならば正四面体と示す。

点検した論証 Oを原点としてa=OA,b=OB,c=OCとする。対面OBCの外心をq_Aとする。垂線条件は(a−q_A)·b=(a−q_A)·c=0。q_AはO,B,Cから等距離なので、|q_A|²=|q_A−b|²からq_A·b=|b|²/2、同様にq_A·c=|c|²/2。従ってa·b=|b|²/2、a·c=|c|²/2。

B,Cについて同様に使うと a·b=|a|²/2、b·c=|c|²/2、a·c=|a|²/2、b·c=|b|²/2。これらを合わせて |a|²=|b|²=|c|²=r²、a·b=b·c=c·a=r²/2。ゆえに各側辺の二乗は |a−b|²=r²+r²−r²=r²、他の二辺も同じ。Oからの三辺もrなので六辺が等しく、正四面体。

分類 - 単元: 三角形の外心、空間ベクトルと内積。 - 方法: 外心の等距離条件を内積に変換し、対称な内積関係から辺長を比較。 - テーマ: 対面外心を通る高さによる正四面体の特徴づけ。

対象・入力記録

表示修復記録

前版の数式が数式モード外に出ていた箇所をインライン・別行数式に整形し、本文と式を読み分けられるようにした。数学的主張・計算・結論は変更していない。修復前ファイルは `history/transfer08-display-repair-20261001/MM-83467ae10b23-Q3/` に保存した。